高考申論題
107年
[統計] 抽樣方法
第 一 題
📖 題組：
假設某一個有限母體可被完整地切割為 L 個互不相交的層別（strata），其中第 h 層之層大小（stratum size）為 Nh，第 h 層之第 j 個元素的研究變數值為 yhj，h=1,…,L，j=1,2,…,Nh。母體大小（population size）、母體平均數（population mean）以及母體變異數（population variance）的數學式分別為： 母體大小： N = N1 + N2 + … + NL 母體平均數： μ = (1/N) ΣΣ yhj 母體變異數： σ^2 = (1/N) ΣΣ (yhj - μ)^2 其次，母體中第 h 層之層平均數（stratum mean）以及層變異數（stratum variance）的數學式分別為： 第 h 層之層平均數： μh = (1/Nh) Σ yhj 第 h 層之層變異數： σh^2 = (1/Nh) Σ (yhj - μh)^2
假設某一個有限母體可被完整地切割為 L 個互不相交的層別（strata），其中第 h 層之層大小（stratum size）為 Nh，第 h 層之第 j 個元素的研究變數值為 yhj，h=1,…,L，j=1,2,…,Nh。母體大小（population size）、母體平均數（population mean）以及母體變異數（population variance）的數學式分別為： 母體大小： N = N1 + N2 + … + NL 母體平均數： μ = (1/N) ΣΣ yhj 母體變異數： σ^2 = (1/N) ΣΣ (yhj - μ)^2 其次，母體中第 h 層之層平均數（stratum mean）以及層變異數（stratum variance）的數學式分別為： 第 h 層之層平均數： μh = (1/Nh) Σ yhj 第 h 層之層變異數： σh^2 = (1/Nh) Σ (yhj - μh)^2
📝 此題為申論題，共 4 小題
小題 (一)
試證明下列等式：σ^2 = Σ Wh σh^2 + Σ Wh (μh - μ)^2，其中 Wh = Nh/N 為第 h 層的層比重（stratum weight），h = 1, …, L。（10 分）
思路引導 VIP
這是一個經典的變異數分解問題（層內變異與層間變異）。證明的關鍵在於將母體變異數公式中的平方向 $(y_{hj} - mu)^2$ 拆解為 $[(y_{hj} - mu_h) + (mu_h - mu)]^2$，展開後利用交叉項和為零的特性，分別整理出層內變異（Within-stratum variance）與層間變異（Between-stratum variance）的部分。
小題 (二)
使用分層隨機抽樣（stratified random sampling）之後，抽樣者應如何推估（未知其值的）母體平均數？需要什麼假設條件？請詳細說明。（4 分）
思路引導 VIP
此題測驗分層隨機抽樣的基本推估量。重點在於說明推估量是各層樣本平均數的加權總和。關於假設條件，最重要的是「層權數（Wh）」必須已知，且各層內是獨立進行隨機抽樣。
小題 (三)
在使用分層隨機抽樣之前，抽樣者必須事先決定將要採用何種較為適當的配置，例如比例配置（proportional allocation）、尼門配置（Neyman allocation）。請詳細說明在使用事後分層（post-stratification）的方法之前，抽樣者是否也必須事先決定採用何種配置？（5 分）
思路引導 VIP
本題旨在區分「事前分層」與「事後分層」在操作上的本質差異。配置問題（Allocation）只存在於抽樣前能控制各層樣本數 $n_h$ 的情況下。在事後分層中，抽樣者是先進行 SRS，樣本在各層的分布是隨機的，因此無法「配置」。
小題 (四)
請詳細說明在什麼情況之下，抽樣者需要借助於雙重抽樣（double sampling）之方法，來進行分層隨機抽樣並推估母體的平均數（或是推估母體的其他參數）。（5 分）
思路引導 VIP
雙重抽樣（又稱兩相抽樣）在分層抽樣中的應用情境非常明確：即當「層權數 $W_h$ 未知」時。思考方向應圍繞在如何透過第一階段的大樣本來估計 $W_h$，再透過第二階段的小樣本來估計研究變數 $y$。