高考申論題
110年
[統計] 抽樣方法
第 三 題
📖 題組：
三、(一)抽樣時，採分層隨機抽樣方法而不採用簡單隨機抽樣方法的原因有哪些？（10 分） (二)考慮分層隨機抽樣，證明在抽樣總成本固定之下，使樣本平均之變異數最小的各層樣本數最佳配置為 n_i = n * (N_i * sigma_i / sqrt(c_i)) / sum(N_k * sigma_k / sqrt(c_k))，其中 N_i 是第 i 分層的大小，sigma_i^2 是第 i 分層的變異數，c_i 是由第 i 分層獲得一觀察值的成本。（15 分） (三)考慮分層隨機抽樣，請問在那一種樣本配置下，母體平均估計量與簡單隨機抽樣時的母體平均估計量相同，試證明之。（10 分）
三、(一)抽樣時，採分層隨機抽樣方法而不採用簡單隨機抽樣方法的原因有哪些？（10 分） (二)考慮分層隨機抽樣，證明在抽樣總成本固定之下，使樣本平均之變異數最小的各層樣本數最佳配置為 n_i = n * (N_i * sigma_i / sqrt(c_i)) / sum(N_k * sigma_k / sqrt(c_k))，其中 N_i 是第 i 分層的大小，sigma_i^2 是第 i 分層的變異數，c_i 是由第 i 分層獲得一觀察值的成本。（15 分） (三)考慮分層隨機抽樣，請問在那一種樣本配置下，母體平均估計量與簡單隨機抽樣時的母體平均估計量相同，試證明之。（10 分）
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (三)
考慮分層隨機抽樣，請問在那一種樣本配置下，母體平均估計量與簡單隨機抽樣時的母體平均估計量相同，試證明之。（10 分）
思路引導 VIP
看到題目要求「分層估計量等於簡單隨機抽樣估計量」，應立刻聯想到兩者的公式差異。將分層平均估計量公式與總樣本平均（SRS估計量）公式強制相等，比對各層加總項的係數，即可推導出各層樣本數與母體層大小成正比的條件。
小題 (一)
請以您認為合適的估計量推估龍江大學企業管理學系學生贊成增設性別友善廁所之比例及其 95%信賴區間，並說明採用此一估計量之理由。
思路引導 VIP
題目雖然採用簡單隨機抽樣(SRS)，但結果顯示樣本中男女比例(30:30)與母體比例(40:200)嚴重不符。在已知母體結構的情況下，使用「事後分層估計量」(Post-stratified estimator)會比直接用樣本比例更準確且偏差更小。
小題 (二)
會計學系也想參考企業管理學系的經驗，規劃設立性別友善廁所並先對學生意見進行調查。系主任計劃分別由女同學及男同學中各以簡單隨機抽樣取出不放回的方式選擇若干同學，總計希望能由會計學系的 250 位學生中選擇 100 位學生作為調查樣本。因為會計學系男女生比例為 4：6，因此系主任規劃男學生之樣本數為 40，而女學生之樣本數為 60。請問您是否認同此一樣本數配置，請說明您的理由，同時如果您不認同，請提出您認為較適當的樣本數配置。
思路引導 VIP
系主任採用的是「比例配置法」(Proportional Allocation)。這在不知道各層變異數時是最保險的做法。但從企管系的經驗可知，男女對於該議題的贊成比例（以及隱含的變異數）可能不同。應討論「奈曼配置」(Neyman Allocation) 或「最佳配置」的可能性。