高考申論題
107年
[統計] 統計學
第 一 題
📖 題組：
一、(一)令 Z1, Z2, ..., Zn 為標準常態分配的隨機樣本，說明隨機變數 W 的機率分配（不需證明）。（9 分） 1.W= Z1^2 + Z2^2 + Z3^2 + Z4^2 + Z5^2 2.W= Z6 / sqrt(X/5)，其中 X = Z1^2 + Z2^2 + Z3^2 + Z4^2 + Z5^2 3.W= (Y/2) / (X/5)，其中 Y = Z8^2 + Z9^2，X = Z1^2 + Z2^2 + Z3^2 + Z4^2 + Z5^2 (二)令 Z=Y+X，Y 為卡方分配自由度 ν1 分配、Z 為卡方分配自由度 ν3 分配，且 Y 與 X 相互獨立，以動差生成函數（moment generating function）推論 X 的機率分配。（9 分）
一、(一)令 Z1, Z2, ..., Zn 為標準常態分配的隨機樣本，說明隨機變數 W 的機率分配（不需證明）。（9 分） 1.W= Z1^2 + Z2^2 + Z3^2 + Z4^2 + Z5^2 2.W= Z6 / sqrt(X/5)，其中 X = Z1^2 + Z2^2 + Z3^2 + Z4^2 + Z5^2 3.W= (Y/2) / (X/5)，其中 Y = Z8^2 + Z9^2，X = Z1^2 + Z2^2 + Z3^2 + Z4^2 + Z5^2 (二)令 Z=Y+X，Y 為卡方分配自由度 ν1 分配、Z 為卡方分配自由度 ν3 分配，且 Y 與 X 相互獨立，以動差生成函數（moment generating function）推論 X 的機率分配。（9 分）
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
說明隨機變數 W 的機率分配（不需證明）。
1.W= Z1^2 + Z2^2 + Z3^2 + Z4^2 + Z5^2
2.W= Z6 / sqrt(X/5)，其中 X = Z1^2 + Z2^2 + Z3^2 + Z4^2 + Z5^2
3.W= (Y/2) / (X/5)，其中 Y = Z8^2 + Z9^2，X = Z1^2 + Z2^2 + Z3^2 + Z4^2 + Z5^2
思路引導 VIP
本題測試考生對三大抽樣分配（卡方分配、t分配、F分配）定義的熟練度。看到平方和形式，應聯想到卡方；看到「標準常態除以卡方開根號」，應聯想到t；看到「兩個卡方各除以自由度後相除」，應聯想到F。答題時只需明確指出分配名稱與自由度參數即可。
小題 (二)
令 Z=Y+X，Y 為卡方分配自由度 ν1 分配、Z 為卡方分配自由度 ν3 分配，且 Y 與 X 相互獨立，以動差生成函數（moment generating function）推論 X 的機率分配。（9 分）
思路引導 VIP
本題考查卡方分配的加成性（Additivity）以及動差生成函數（MGF）的性質。解題步驟如下：1. 寫出 $Y$ 與 $Z$ 的 MGF；2. 利用獨立隨機變數和的 MGF 等於 MGF 之積的性質，列出 $M_Z(t) = M_Y(t) cdot M_X(t)$；3. 解出 $M_X(t)$ 並辨識其對應的分配類型與參數。