高考申論題
109年
[統計] 統計學
第 一 題
📖 題組：
一、設隨機變數X服從平均數\mu = 0，標準差為\sigma的常態分配；即X~N(0, \sigma^2)，又X_1, X_2, ..., X_{n_1}, X_{n_1+1}, X_{n_1+2}, ..., X_{n_1+n_2}為抽自X之一組大小為n_1 + n_2之隨機樣本，令統計量：S = \sum_{i=1}^{n_1} X_i / \sqrt{n_1}\sigma，T = \sum_{j=n_1+1}^{n_1+n_2} X_j^2 / \sigma^2，U = \frac{\sqrt{n_2}\sum_{i=1}^{n_1} X_i}{\sqrt{n_1}\sqrt{\sum_{j=n_1+1}^{n_1+n_2} X_j^2}} 及 V = \frac{n_2\sum_{i=1}^{n_1} X_i^2}{n_1\sum_{j=n_1+1}^{n_1+n_2} X_j^2} 試問：（每小題5分，共20分）
一、設隨機變數X服從平均數\mu = 0，標準差為\sigma的常態分配；即X~N(0, \sigma^2)，又X_1, X_2, ..., X_{n_1}, X_{n_1+1}, X_{n_1+2}, ..., X_{n_1+n_2}為抽自X之一組大小為n_1 + n_2之隨機樣本，令統計量：S = \sum_{i=1}^{n_1} X_i / \sqrt{n_1}\sigma，T = \sum_{j=n_1+1}^{n_1+n_2} X_j^2 / \sigma^2，U = \frac{\sqrt{n_2}\sum_{i=1}^{n_1} X_i}{\sqrt{n_1}\sqrt{\sum_{j=n_1+1}^{n_1+n_2} X_j^2}} 及 V = \frac{n_2\sum_{i=1}^{n_1} X_i^2}{n_1\sum_{j=n_1+1}^{n_1+n_2} X_j^2} 試問：（每小題5分，共20分）
📝 此題為申論題，共 4 小題
小題 (一)
S之機率分配為何？
思路引導 VIP
看到本題，首先要辨識出這是「抽樣分配」的基本考點。母體服從常態分配，因此樣本的線性組合也會是常態分配。解題時，要先找出 S 統計量的分子 \sum X_i 的期望值與變異數，再透過標準化轉換推導出其分配。必須清楚展現「期望值」、「變異數」的推導過程，最後給出明確的分配名稱與參數。
小題 (二)
T之機率分配為何？
思路引導 VIP
這題考查的是「標準常態變數平方和」的性質。看到 $X_j^2/\sigma^2$，應直覺聯想到 $(X_j/\sigma)^2$，這是一個標準常態變數的平方。多個獨立的標準常態變數平方和會服從什麼分配？答案是卡方分配（Chi-Square Distribution）。要確認加總的項數以決定自由度。
小題 (三)
U之機率分配為何？
思路引導 VIP
看到分子含有樣本和，分母含有平方和開根號，這是典型推導「t 分配 (Student's t-distribution)」的結構。你要引導思考：t 分配的定義是 $Z / \sqrt{Y/k}$，其中 $Z \sim N(0,1)$，$Y \sim \chi^2(k)$，且兩者獨立。接下來只要把 U 的公式重組，證明它符合這個定義即可。
小題 (四)
V之機率分配為何？
思路引導 VIP
兩個變數平方和的比例，這暗示著「F 分配 (F-distribution)」。F 分配的定義是兩個獨立的卡方變數除以各自自由度後的比值： $(Y_1/v_1) / (Y_2/v_2)$。引導思考：如何將 V 上下同除以常數，湊成兩個獨立的卡方變數除以自由度的形式？