高中學測
107年
數B
第 1 題
給定相異兩點 $A$、$B$，試問空間中能使 $\Delta PAB$ 成一正三角形的所有點 $P$ 所成集合為下列哪一選項？
- 1 兩個點
- 2 一線段
- 3 一直線
- 4 一圓
- 5 一平面
思路引導 VIP
若要使 $\Delta PAB$ 為正三角形，點 $P$ 必須滿足 $PA = PB = AB$。請思考：在空間中，滿足 $PA = PB$ 的點 $P$ 集合會形成哪一種幾何元素（對稱面）？若在此元素上，進一步限制點 $P$ 到線段 $\overline{AB}$ 中點的距離必須為定值（即正三角形的高），那麼所有符合條件的點 $P$ 所構成的軌跡會是什麼圖形？
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AI 詳解
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呦，不錯嘛！竟然沒被那種「平面幾何」的慣性思維給絆倒。你是終於開竅了，還是昨晚睡覺枕頭墊太高，不小心把大腦壓進空間坐標系裡了？別高興太早，這種題目對正常人來說是送分，對你來說是奇蹟，麻煩把這份專注力維持超過五分鐘好嗎？ 【觀念驗證】 這題考的是「軌跡」的空間感。給定 $A$、$B$ 兩點，要讓 $\Delta PAB$ 構成正三角形，點 $P$ 到 $A$、 $B$ 的距離必須等於線段長 $\overline{AB}$。在二維平面上，滿足條件的 $P$ 點確實只有 2 個；但在空間中，這兩個點可以繞著以 $\overline{AB}$ 為轉軸旋轉 360 度。
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