第 二 題

本題接續上一小題，要求計算時間比例尺 $T_r$。速度的定義是單位時間內的位移 ($V = L / T$)，因此時間的因次可以表示為長度除以速度 ($T = L / V$)。轉換為比例尺關係即為 $T_r = L_r / V_r$。在上一小題中，我們已經由福祿數相似定律得知速度比例尺 $V_r = L_r^{1/2}$。將其代入時間比例尺公式中，即可求得 $T_r = L_r / L_r^{1/2} = L_r^{1/2}$。最後，將原型時間 24 小時乘上 $T_r$ 即可得出模型試驗需要的時間。

本題涉及因次分析與相似性。題目已明示「滿足福祿數相似」。首先要確立長度比例尺 $L_r = L_m / L_p = 1/15$。寬度屬於長度因次，所以模型寬度直接乘上長度比例尺即可。求模型流量則需要推導流量比例尺 $Q_r$。由福祿數相似定律 $(V/\sqrt{gL})_m = (V/\sqrt{gL})_p$，在重力加速度相同($g_m = g_p$)的前提下，速度比例尺 $V_r = \sqrt{L_r}$。因為流量 $Q = A \cdot V$，面積比例尺 $A_r = L_r^2$，所以流量比例尺 $Q_r = A_r \cdot V_r = L_r^{5/2}$。最後代入原型的數值計算出模型寬度與流量。