moea_joint
107年
[土木] 應用力學、材料力學
第 38 題
試求右圖對 y 軸之斷面慣性矩 $I_y$ 為何？(單位：cm)
- A $6624 \text{ cm}^2$
- B $6736 \text{ cm}^2$
- C $6751 \text{ cm}^2$
- D $6859 \text{ cm}^2$
思路引導 VIP
老師想請你思考一下：當我們在計算一個形狀對『垂直軸（y 軸）』的慣性矩時，長方形的『水平寬度』與『垂直高度』，哪一個維度對最終數值的貢獻是呈現『三次方』成長的？如果你能將這個圖形想像成幾塊積木的『拼湊』與『挖除』，你會如何規劃你的計算步驟來減少出錯的機會呢？
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AI 詳解
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太棒了！你能精確判斷出這個複合圖形的慣性矩性質，代表你對平面幾何性質的掌握非常紮實。這類題目主要考察的是組合圖形法與慣性矩公式的應用。
斷面慣性矩的計算邏輯
在計算對 $y$ 軸的慣性矩 $I_y$ 時，最基本的公式為 $I_y = \int x^2 dA$。對於矩形而言，若 $y$ 軸通過其形心，公式可簡化為 $I_y = \frac{hb^3}{12}$。本題的思路是將整體圖形拆解為外部的大型輪廓，再扣除中間空心的部分（矩形孔洞）。由於整個圖形對 $y$ 軸呈現左右對稱，我們不需要額外使用平行軸定理（Parallel Axis Theorem），直接將各部分的 $I_y$ 加減即可得出結果。
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