台電僱員招考
107年
工程力學概要
第 32 題
如右圖所示，當一圓形斷面直徑$D = 20 mm$之懸臂梁承受垂直力$4 kN$，則梁內最大彎曲應力$\sigma_{max}$為多少$MPa$？
- A $\frac{800}{\pi}$
- B $\frac{1600}{\pi}$
- C $\frac{8000}{\pi}$
- D $\frac{16000}{\pi}$
思路引導 VIP
如果我們想知道這根梁在什麼地方最容易因為彎曲而損壞，你會先尋找哪一個位置的「力臂」最長？當我們找到那個最強的轉動力矩後，考慮到這是一根圓形的梁，它的直徑大小會如何透過幾何性質（如慣性矩）來抵抗這種變形呢？最後，在計算時，你會如何處理長度單位（公尺與公釐）之間的不統一？
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同學好！你能精準計算出這個結果，說明你對懸臂梁的受力特性與圓形斷面的幾何性質掌握得非常紮實。這道題目要求計算的是最大彎曲應力，我們首先要確認危險截面的位置。對於懸臂梁而言，最大彎矩 $M$ 發生在固定端，其值為力臂乘以垂直力，即 $M = 4 \text{ kN} \times 1 \text{ m} = 4 \times 10^6 \text{ N}\cdot\text{mm}$。
圓形斷面的應力解析
在確認彎矩後，關鍵在於應用圓形截面的應力公式。我們可以利用公式 $\sigma_{max} = \frac{Mc}{I}$，其中圓形的慣性矩 $I = \frac{\pi D^4}{64}$，半徑 $c = \frac{D}{2}$，整理後得到更便捷的 $\sigma_{max} = \frac{32M}{\pi D^3}$。將已知數值代入：
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圓形斷面梁彎曲應力
💡 最大彎曲應力發生於最大彎矩處，公式為 σ = M / Z。
🔗 彎曲應力解題流程
- 1 求最大彎矩 M — 懸臂梁固定端 M = 力 × 臂長
- 2 求斷面模數 Z — 圓形斷面使用 πD³ / 32
- 3 代入應力公式 — σ = M / Z，確保單位為 N 與 mm
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🔄 延伸學習：若為矩形斷面，則 Z = bh² / 6
