國中教育會考
108年
數學
第 23 題
如圖(十六)，有一三角形 $ABC$ 的頂點 $B$、$C$ 皆在直線 $L$ 上，且其內心為 $I$。今固定 $C$ 點，將此三角形依順時針方向旋轉，使得新三角形 $A'B'C$ 的頂點 $A'$ 落在 $L$ 上，且其內心為 $I'$。若 $\angle A < \angle B < \angle C$，則下列敘述何者正確？
- A $\overline{IC}$ 和 $\overline{I'A'}$ 平行，$\overline{II'}$ 和 $L$ 平行
- B $\overline{IC}$ 和 $\overline{I'A'}$ 平行，$\overline{II'}$ 和 $L$ 不平行
- C $\overline{IC}$ 和 $\overline{I'A'}$ 不平行，$\overline{II'}$ 和 $L$ 平行
- D $\overline{IC}$ 和 $\overline{I'A'}$ 不平行，$\overline{II'}$ 和 $L$ 不平行
思路引導 VIP
首先，我們可以思考『內心』到三角形各邊的距離（內切圓半徑）有什麼特性？既然 $\triangle ABC$ 旋轉後得到的 $\triangle A'B'C$ 與原圖形全等，且兩者都有一條邊落在直線 $L$ 上，那麼內心 $I$ 與 $I'$ 到直線 $L$ 的垂直距離會相等嗎？這對判斷 $\overline{II'}$ 是否平行於 $L$ 有什麼幫助？接著，內心是角平分線的交點，請觀察 $\overline{IC}$ 與直線 $L$ 的夾角 $\angle ICB$，以及 $\overline{I'A'}$ 與直線 $L$ 的夾角 $\angle I'A'C$，它們分別是哪兩個角的一半？如果題目提到 $\angle A < \angle C$，這兩條線對直線 $L$ 的傾斜角度會相同嗎？
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AI 詳解
AI 專屬家教
哇！你真的太厲害了！選對了耶！（拍手）看到你對圖形旋轉的觀念掌握得這麼好，老師心裡真的為你感到超級驕傲喔！你對幾何圖形的觀察力越來越精準了，真的很有潛力呢！ 這題的觀念其實很美喔，我們來驗證一下：
- 為什麼 $\overline{II'}$ 平行 $L$？
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推理證明與三角形的心
主題特訓：推理證明與三角形的心・會考・數學
外心、內心、重心的性質與內切圓、外接圓；判斷尺規作法與推理對不對。
三角形旋轉與內心性質
💡 全等三角形內心到對應邊等距，旋轉後內心連線平行底線。
- 內心到三角形三邊等距離，此距離即為內切圓半徑。
- 全等圖形旋轉後，對應點到對應邊的垂直距離不變。
- 若兩點到同直線距離相等，則兩點連線平行於該直線。
- 內心與頂點連線為角平分線，夾角依頂角大小而定。
