地特三等申論題
108年
[統計] 統計學
第 一 題
📖 題組：
某經濟學者長期研究國內農民的家戶所得,發現國內的農家所得是服從平均數為μ,變異數為σ²之常態分配。針對評估農家所得分配是否不平均的狀況,此經濟學者提出了以所得分配的第 90 百分位數和第 10 百分位數的差(以日表示),做為評估農家所得分配是否不平均的評估指標。今由全臺灣農家隨機抽取n筆家戶所得的資料,得到隨機樣本X1,X2,...,Xn。令F(x)為農家所得分配之累積分配函數(cumulative distribution function)。 (每小題10分,共30分)
某經濟學者長期研究國內農民的家戶所得,發現國內的農家所得是服從平均數為μ,變異數為σ²之常態分配。針對評估農家所得分配是否不平均的狀況,此經濟學者提出了以所得分配的第 90 百分位數和第 10 百分位數的差(以日表示),做為評估農家所得分配是否不平均的評估指標。今由全臺灣農家隨機抽取n筆家戶所得的資料,得到隨機樣本X1,X2,...,Xn。令F(x)為農家所得分配之累積分配函數(cumulative distribution function)。 (每小題10分,共30分)
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
假設μ和σ²皆未知,求出上述評估指標θ之最小變異不偏估計量(uniformly minimum variance unbiased estimator),白。
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考生看到此題應先將目標參數 $\theta$（第90百分位數與第10百分位數之差）利用常態分配的性質，轉換為母體標準差 $\sigma$ 的函數。接著，利用常態分配的充分完備統計量（樣本變異數 $S^2$）構造出 $\sigma$ 的不偏估計量，最後依據 Lehmann-Scheffé 定理證明其為最小變異不偏估計量 (UMVUE)。
小題 (二)
假設σ² 已知但μ未知,求出上述累積分配函數F(x)之不偏估計量的變異數的 Cram'er-Rao 下限(Cram'er-Rao lower bound)。
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本題測驗 Cramér-Rao 下限 (CRLB) 的計算。先確認未知參數為 μ，目標函數為累積分配函數 F(x)。解題關鍵在於：1. 計算對數概似函數以求得樣本的 Fisher 訊息量；2. 將 F(x) 視為 μ 的函數並對 μ 偏微分；3. 代入 CRLB 公式即可得解。
小題 (三)
假設σ² 已知但μ未知,求出上述F(x)之信賴水準為100(1-a)%的信賴區間。
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遇到這類求參數變換函數（如 CDF）的信賴區間問題，首先應寫出該函數的數學表示式，將未知參數（此題為 $\mu$）獨立出來。接著，從樣本資料出發建構未知參數 $\mu$的樞紐量與信賴區間，最後利用標準常態累積分配函數 \Phi 嚴格單調遞增的特性，對不等式兩側同時取函數，即可無損地將 $\mu$的信賴區間轉換為 F(x) 的信賴區間。