地特四等申論題
108年
[經建行政] 統計學概要
第 四 題
📖 題組：
假設隨機變數 X 之機率分配如下：（每小題 5 分，共 20 分） | x | 1 | 2 | 3 | 4 | |---|---|---|---|---| | f(x) | 0.35 | 0.25 | 0.15 | 0.25 | (一)試求 X 的期望值。 (二)試求 X 的標準差。 (三)試求機率 P(X>2)。 (四)令 Y = X^2 + 2X + 1，則 Y 的期望值為何？
假設隨機變數 X 之機率分配如下：（每小題 5 分，共 20 分） | x | 1 | 2 | 3 | 4 | |---|---|---|---|---| | f(x) | 0.35 | 0.25 | 0.15 | 0.25 | (一)試求 X 的期望值。 (二)試求 X 的標準差。 (三)試求機率 P(X>2)。 (四)令 Y = X^2 + 2X + 1，則 Y 的期望值為何？
📝 此題為申論題，共 4 小題
小題 (四)
令 Y = X^2 + 2X + 1，則 Y 的期望值為何？
思路引導 VIP
遇到隨機變數函數求期望值的題型，應直覺想到期望值的線性運算性質或無意識統計學家法則（LOTUS）。本題可將 E(Y) 拆解為 E(X^2) + 2E(X) + 1，或將 Y 配方成 (X+1)^2 後直接代入機率表計算，兩步驟展開能確保計算過程嚴謹且不易出錯。
小題 (一)
試求 X 的期望值。
思路引導 VIP
遇到離散型隨機變數求期望值的題目，首先應快速檢核所有機率的總和是否為 1。確認無誤後，直接套用離散型期望值定義公式 E(X) = Σx·f(x)，將各個變數值與其對應之機率相乘後加總即可精確求解。
小題 (二)
試求 X 的標準差。
思路引導 VIP
計算標準差必須先求出變異數，因此解題時應先計算期望值 E(X) 與平方期望值 E(X^2)。接著利用公式 Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 得到變異數，最後開平方根即為標準差，計算時需留意小數點後的精確度。
小題 (三)
試求機率 P(X>2)。
思路引導 VIP
看到求 P(X>2)，應先對照機率分配表，找出隨機變數 X 大於 2 的所有可能取值（即 X=3 與 X=4）。接著，根據離散型隨機變數的互斥事件加法原則，將對應的機率值相加即可得出答案。