第 三 題

這題考查隨機變數的線性轉換對變異數的影響。考生應聯想到變異數的平移不變性（加減常數不影響變異數），因此可預期 Var(X+1) 等於 Var(X)。但題目要求「需計算」，因此必須實際列出 X+1 的機率分配，依定義算出期望值與變異數，最後再與 Var(X) 比較以完成驗證。

面對間斷隨機變數求平均數（期望值）的題型，首要寫出期望值的定義公式 E(X) = Σ [x · P(X=x)]。接著將題目給定的所有 x 值與其對應機率相乘並加總，確保計算無誤即可精確求得答案。

考生看到此題應立即聯想到間斷隨機變數的變異數公式。最便捷的計算途徑是利用平方期望值減去期望值的平方，即 Var(X) = E(X²) - [E(X)]²。計算時須注意先正確求出 E(X)，以免連鎖計算錯誤。

考生看到此題應先確立變異數的計算公式，找出新隨機變數 Y = -X 的機率分配或期望值，再代入 Var(-X) = E((-X)^2) - [E(-X)]^2 進行計算。同時，心裡應預期結果必須符合變異數性質 Var(aX) = a^2Var(X)，即 Var(-X) = (-1)^2 Var(X) = Var(X)，以作為雙重驗證。