地特四等申論題 110年 [經建行政] 統計學概要

第三題

📖 題組：
假設有四面骰子，其四面之點數分別為 1、2、3、4 點。今擲出一對公正的四面骰子，令 X 等於較大點數的結果，例如若擲出點數為 1 點與 4 點，則 X 等於 4 點。

📝 此題為申論題，共 3 小題

小題 (三)

試求Var(X)。（10 分）

看到這種離散型隨機變數求變異數的題型，第一步務必先建立完整的樣本空間與機率分配表（PMF）。接著依序利用離散型期望值公式求出 E(X) 與 E(X²)，最後代入變異數計算公式 Var(X) = E(X²) - [E(X)]² 即可嚴謹解出答案，切忌直接跳步計算。

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【解題關鍵】建立隨機變數 X 的機率質量函數（PMF），並利用變異數定義公式 Var(X) = E(X²) - [E(X)]² 求解。【解答】 Step 1：定義隨機變數與樣本空間

試求E(X)。（7 分）

看到此類題型，應立即聯想到建立「機率分配表」。先盤點樣本空間總數，再逐一列舉隨機變數 X（最大點數）對應的所有組合情形以求出各別機率，最後代入離散型隨機變數期望值公式求解。

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【解題關鍵】先建立隨機變數 X 的機率分配表，再利用離散型隨機變數期望值公式 E(X) = \sum x \cdot P(X=x) 求解。【解答】 Step 1：確定樣本空間

試求 E(X^2)。（8 分）

本題核心在於求出次序統計量中「最大值」的機率質量函數（PMF）。建議先利用累積分配函數（CDF）或窮舉法建立 X 的機率分配表，再代入動差期望值公式 E(X^2) = Σ(x^2 * P(X=x)) 進行求解。

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【解題關鍵】先求出隨機變數 X (兩骰子中較大點數) 的機率質量函數，再代入二階動差期望值公式 E(X²)=∑x²P(X=x) 求解。【解答】 Step 1：定義隨機變數與樣本空間

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