高考申論題
108年
[水利工程] 流體力學
第 二 題
二、已知一壓縮性流體之速度場為ρ V (3x2yi 2xy3j)e2t，其中，ρ 表該流體密度，x, y 表直角座標，t 表時間。請推求當t = 1時，通過點(1,1)之∂ρ/∂t = ？（20 分）
📝 此題為申論題
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看到本題要求密度隨時間的偏微分 ∂ρ/∂t，且已知質量通量場向量 (ρV)，應直覺聯想到「連續方程式 (Continuity Equation)」。首先寫下三維可壓縮流體的連續方程式，將已知的 x 與 y 方向的質量通量代入計算其散度 (Divergence)，接著移項求出 ∂ρ/∂t 的數學表達式。最後，將 t=1、x=1、y=1 帶入該表達式得出數值。
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【考點分析】 本題測驗質量守恆定律之微分形式（即連續方程式）在壓縮性流體及非穩態流場下的應用，並檢驗考生對向量微積分（散度 Divergence）的計算能力。 【理論/公式依據】
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