高考申論題
108年
[港灣工程] 港灣工程
第 一 題
📖 題組：
波浪分散關係式為σ² = gk tanh(kh)，σ = 2π / T 為波浪頻率，T 為波浪週期，g 為重力加速度，k = 2π / L 為週波數，L 為波長，h 為水深。波浪中群波速度為 Cg = nC，其中 Cg 為群波速度，n = 1/2 [1 + 2kh / sinh(2kh)]，C 為單元波波速。
波浪分散關係式為σ² = gk tanh(kh)，σ = 2π / T 為波浪頻率，T 為波浪週期，g 為重力加速度，k = 2π / L 為週波數，L 為波長，h 為水深。波浪中群波速度為 Cg = nC，其中 Cg 為群波速度，n = 1/2 [1 + 2kh / sinh(2kh)]，C 為單元波波速。
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
證明深水波波長為 L = 1.56T²。(10 分)
思路引導 VIP
看到此題，應立即聯想微幅波理論的「波浪分散關係式（Dispersion Relation）」。解題關鍵在於代入「深水波」的物理條件：當相對水深很大時，kh趨近於無限大，tanh(kh)趨近於1，再將g=9.81代入常數項即可完成證明。
小題 (二)
波浪週期為 10 秒，試求深水波波長。(6 分)
思路引導 VIP
看到求深水波波長，應立即聯想微幅波理論的「波浪分散關係式」。解題關鍵在於代入深水波物理條件（kh 趨近於無限大，tanh(kh) 趨近於 1），將複雜的方程式簡化為深水波波長公式 L₀ = gT²/2π 再進行求解。
小題 (三)
證明深水波群波速度為 Cg = 1/2 C。(10 分)
思路引導 VIP
看到這題，首先必須聯想到「深水波」的物理定義與微幅波理論中的數學條件，亦即相對水深 h/L > 1/2，此時 kh 趨近於無限大。接著將 kh → ∞ 的極限條件代入題目給定的群波速度係數 n 公式中，探討 sinh(2kh) 函數在極限狀態下的收斂結果，即可順利推導出結論。
深水波波長公式推導
💡 利用微幅波分散關係式，於深水條件下簡化並求得波長與週期關係。
🔗 深水波波長推導邏輯鏈
- 1 理論模型 — 確立分散關係式 σ² = gk tanh(kh)
- 2 參數代換 — 將角頻率與波數代換為週期 T 與波長 L
- 3 邊界條件 — 套用深水假設使 tanh(kh) 趨近於 1
- 4 數值化簡 — 代入 g = 9.81 算出 L = 1.56T²
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🔄 延伸學習：延伸學習：淺水波條件（h/L < 0.05）下之波速公式簡化推導
