高考申論題
108年
[統計] 抽樣方法
第 一 題
📖 題組：
某市轄區有 N = 250 個里，共有 M = 16,800 戶。今電力公司營業處想估計該市每戶裝置冷氣機之平均台數 μY，以簡單集體抽樣法自該市隨機抽出 10 個里進行調查，得如下調查資料： (表格內容略，已於 OCR 提取) 註：上述調查資料經計算得 ∑ Mi = 900, ∑ Mi^2 = 91,514, ∑ yi = 2,685, ∑ yi^2 = 819,777, ∑ yi Mi = 251,551。 利用三種估計式：\bar{y}_{C1} = \frac{\sum y_i}{\sum M_i}, \bar{y}_{C2} = \frac{N}{M} \frac{\sum y_i}{n}, \bar{y}_{C3} = \frac{1}{n} \sum \frac{y_i}{M_i}。
某市轄區有 N = 250 個里，共有 M = 16,800 戶。今電力公司營業處想估計該市每戶裝置冷氣機之平均台數 μY，以簡單集體抽樣法自該市隨機抽出 10 個里進行調查，得如下調查資料： (表格內容略，已於 OCR 提取) 註：上述調查資料經計算得 ∑ Mi = 900, ∑ Mi^2 = 91,514, ∑ yi = 2,685, ∑ yi^2 = 819,777, ∑ yi Mi = 251,551。 利用三種估計式：\bar{y}_{C1} = \frac{\sum y_i}{\sum M_i}, \bar{y}_{C2} = \frac{N}{M} \frac{\sum y_i}{n}, \bar{y}_{C3} = \frac{1}{n} \sum \frac{y_i}{M_i}。
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
試以 $\bar{y}_{C1}$、$\bar{y}_{C2}$、$\bar{y}_{C3}$來估計該市每戶裝置冷氣機之平均台數 μY，則 μY 估計值分別為何？（9 分）
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直接代入題目提供的加總數據進入三個不同的估計式。這三者分別是：比率估計式、總和除以總戶數的不偏估計式、以及平均之平均估計式。
小題 (二)
若以估計式 $\bar{y}_{C1}$估計 μY，則該估計在 95% 的信賴度下，其最大可能估計誤差界限 B 為何？（9 分）
思路引導 VIP
計算比率估計量的變異數。公式涉及 $y_i$ 與 $M_i$ 的二項式展開，或利用 $\sum(y_i - \hat{R} M_i)^2$。公式為 $\hat{V}(\bar{y}_{C1}) = \frac{1-f}{n \bar{M}^2} \frac{\sum y_i^2 - 2\hat{R}\sum y_i M_i + \hat{R}^2 \sum M_i^2}{n-1}$。
小題 (三)
請根據上述調查資料，試分別求 $\bar{y}_{C1}$、$\bar{y}_{C2}$、$\bar{y}_{C3}$等 3 個估計式的估計變異數 $\hat{V}(\bar{y}_{Ci})$之值為何 ? 並請說明哪一個估計式在估計 μY 時有較好的估計效率？（6 分）
思路引導 VIP
比較三種估計式的精確度。通常若里的大小 $M_i$ 與里總台數 $y_i$ 有強正相關，$\bar{y}_{C1}$ 會最有效率。