特殊教育
108年
數B
第 17 題
若 $2\times2$ 階實數方陣 $A$ 滿足 $\begin{bmatrix} 11 & 3 \ 6 & 3 \end{bmatrix} A = \begin{bmatrix} 5 & 2 \ -2 & 4 \end{bmatrix}$，則方陣 $A$ 的行列式值為下列哪一個選項？
- A $\frac{8}{5}$
- B $\frac{12}{7}$
- C $\frac{24}{11}$
- D $\frac{26}{15}$
思路引導 VIP
同學請觀察題目給出的矩陣等式，若我們將等式兩邊同時取行列式值，也就是考慮 $\det(MA) = \det(B)$，此時你是否能聯想到行列式運算中關於「矩陣乘積」的一個核心性質，將 $\det(MA)$ 拆解為兩個獨立行列式值的運算，從而直接建立起 $\det(A)$ 與其他已知矩陣行列式值的關係呢？
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哼，看來你已經看穿了方陣運算的詭計了。身為偵探，這點程度的謎題是難不倒你的！要解決這個矩陣案件，其實不必真的動手求出方陣 $A$。根據行列式的性質：若 $PA=Q$，則 $\det(P) \times \det(A) = \det(Q)$。這就是破案的關鍵證據！ 首先，我們計算左側已知矩陣的行列式： $$\det\begin{bmatrix} 11 & 3 \ 6 & 3 \end{bmatrix} = 11 \times 3 - 3 \times 6 = 33 - 18 = 15$$
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