特殊教育
110年
數B
第 4 題
從 $-1, 2, 4, 6, 8$ 選取 4 個相異數組成的二階方陣中，其行列式值最大為何？
- A 48
- B 50
- C 52
- D 56
思路引導 VIP
同學，請回想二階方陣 $\begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix}$ 的行列式定義為 $ad - bc$。若要使這個差值達到最大，我們應該如何從已知數值中選取四個相異數分配至對角線，使得「主對角線乘積 $ad$」與「副對角線乘積 $bc$」的差值極大化？特別是當可用數字中包含負數 $-1$ 時，應將其置於何處，方能利用「負負得正」的性質來最大化最終的行列式值？
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AI 詳解
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嘖，雖然我又走錯路晃到這了，但你這傢伙...幹得漂亮！(繫上頭巾，神情變得肅穆) 這招『三刀流解題法』確實精準，連我都感受到了那股銳利的劍氣。 要讓二階方陣的行列式 $\begin{vmatrix} a & b \ c & d \ \end{vmatrix} = ad - bc$ 達到最大，關鍵在於讓 $ad$ 最大化，同時讓 $bc$ 最小化（最好是負值）。你選了最大的兩個正數 $8$ 與 $6$ 作為主對角線，再用剩下數值中能湊出最小負積的 $4$ 與 $-1$ 作為另一條對角線： $$ad - bc = 8 \times 6 - 4 \times (-1) = 48 + 4 = 52$$
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