調查局三等申論題
108年
[化學鑑識組] 儀器分析
第 二 題
為測量兩樣品溶液 A 與 B 中的鉛金屬濃度，茲製備五個標準溶液。這兩樣品溶液 A 與 B，含有相同濃度的鎂金屬作為內部標準品。吾人以原子發射光譜術(Atomic Emission Spectroscopy, AES)所測得的數據如下：
濃度(毫克/升) Conc. (mg/L) | 鉛金屬之發射訊號(任意單位) Emission of signal (arbit. units) | 鎂金屬之發射訊號 (Signal of Mg)
0.10 | 13.86 | 11.88
0.20 | 23.49 | 11.76
0.30 | 33.81 | 12.24
0.40 | 44.50 | 12.00
0.50 | 53.63 | 12.12
sol A | 15.50 | 11.80
sol B | 42.60 | 12.40
試由表中的數據及利用最小平方法，計算兩樣品溶液 A 與 B 中的鉛金屬濃度（毫克/升）（mg/L）。（作答時，應詳列所有的演算過程。）（25 分）
註：對於 n 組數據對(x1,y1), (x2,y2), …, (xn,yn), 以線性迴歸法（最小平方法）所得到的線性方程式為 y = mx + b，其中直線的斜率 m，及 y 截距 b，可以下列算式求出：
m = [ n ∑ xi yi - (∑ xi ) (∑ yi ) ] / [n ( ∑ xi^2 ) - (∑ xi )^2 ]
b = [( ∑ xi^2 )(∑ yi )- (∑ xi yi ) (∑ xi ) ] / [n ( ∑ xi^2 ) - (∑ xi )^2 ]
濃度(毫克/升) Conc. (mg/L) | 鉛金屬之發射訊號(任意單位) Emission of signal (arbit. units) | 鎂金屬之發射訊號 (Signal of Mg)
0.10 | 13.86 | 11.88
0.20 | 23.49 | 11.76
0.30 | 33.81 | 12.24
0.40 | 44.50 | 12.00
0.50 | 53.63 | 12.12
sol A | 15.50 | 11.80
sol B | 42.60 | 12.40
試由表中的數據及利用最小平方法，計算兩樣品溶液 A 與 B 中的鉛金屬濃度（毫克/升）（mg/L）。（作答時，應詳列所有的演算過程。）（25 分）
註：對於 n 組數據對(x1,y1), (x2,y2), …, (xn,yn), 以線性迴歸法（最小平方法）所得到的線性方程式為 y = mx + b，其中直線的斜率 m，及 y 截距 b，可以下列算式求出：
m = [ n ∑ xi yi - (∑ xi ) (∑ yi ) ] / [n ( ∑ xi^2 ) - (∑ xi )^2 ]
b = [( ∑ xi^2 )(∑ yi )- (∑ xi yi ) (∑ xi ) ] / [n ( ∑ xi^2 ) - (∑ xi )^2 ]
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
本題測驗「內部標準法(Internal Standard Method)」與「最小平方法(Least Squares Method)」的綜合應用。看到題目給定『內部標準品』的訊號，必須先求出『分析物與內部標準品的訊號比值（y）』，再以訊號比值對『濃度（x）』進行線性迴歸，最後將未知樣品的訊號比值代入迴歸方程式反求濃度。
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AI 詳解
AI 專屬家教
【解題關鍵】本題採用「內部標準法」，必須先求出各溶液中鉛(Pb)與鎂(Mg)的發射訊號比值作為應變數（y = S_Pb / S_Mg），再以此比值對鉛濃度（x）代入最小平方法公式求得線性迴歸方程式。 【解答】 Step 1：計算各標準溶液之發射訊號比值 (y) 並整理計算所需數據
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內部標準法線性迴歸
💡 利用內部標準品訊號比值與最小平方法進行定量分析。
🔗 內部標準法定量計算流程
- 1 數據預處理 — 將所有標準液與樣品的待測物訊號除以內標物訊號得到 y 值。
- 2 統計量加總 — 計算五組數據之 Σx, Σy, Σx², Σxy 以利帶入公式。
- 3 建立校正曲線 — 利用最小平方法求出斜率 m 與截距 b，得出 y = mx + b。
- 4 濃度反算 — 將樣品比值代入方程式，求解待測濃度 x。
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🔄 延伸學習：延伸學習：思考若內標物濃度改變對校正曲線斜率的影響。
