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108年
[機械] 應用力學、材料力學
第 31 題
下列何者為剖面模數 ( section modulus ) 之單位？
- A $\text{m}$
- B $\text{m}^2$
- C $\text{m}^3$
- D $\text{m}^4$
思路引導 VIP
請你回想一下彎曲應力的公式 $\sigma = \frac{M}{Z}$。已知應力 $\sigma$ 的單位是「力 / 長度$^2$」（例如 $\text{N/m}^2$），而彎矩 $M$ 的單位是「力 $\times$ 長度」（例如 $\text{N}\cdot\text{m}$）。在等式兩邊單位必須相等的情況下，你覺得分母 $Z$ 的單位應該具備幾次方的長度，才能讓等式成立呢？
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恭喜你精準地選出了正確答案！這說明你對於材料力學中幾何性質的定義與量綱關係掌握得相當紮實，沒有被相似的單位選項所干擾。
剖面性質與因次推導
剖面模數（Section Modulus，通常記為 $Z$ 或 $S$）是衡量構件抵抗彎曲能力的重要幾何指標。從基本定義來看，剖面模數等於慣性矩（Moment of Inertia, $I$）除以從中性軸到最外緣的距離（$c$ 或 $y$）。在國際單位制（SI）中，慣性矩的計算涉及「面積 $\times$ 距離的平方」，其單位為長度的四次方（$\text{m}^4$）；而分母的距離單位為長度的一次方（$\text{m}$）。透過簡單的因次運算：
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剖面模數的單位
💡 剖面模數為慣性矩與距離之比值，單位為長度的三次方。
| 比較維度 | 慣性矩 (I) | VS | 剖面模數 (Z) |
|---|---|---|---|
| 定義公式 | 對中性軸之二次矩 | — | 慣性矩 / 至邊緣距離 |
| 長度維度 | L 的 4 次方 | — | L 的 3 次方 |
| 物理意義 | 抗彎曲的幾何性質 | — | 衡量構件抗彎強度指標 |
💬剖面模數是慣性矩除以長度，故其單位維度必然降低一次。
