第 一 題

看到指數分配的機率密度函數，應立即聯想其標準形式 $f(x) = \frac{1}{\beta} e^{-x/\beta}$。透過比對函數找出參數 $\beta$ 的數值，即可直接代入指數分配的期望值公式 $E(X) = \beta$ 快速求解。

考生看到此題應首先警覺「單位一致性」的陷阱，題幹給定的隨機變數單位為「分鐘」，而問題詢問的是「30秒」，故須先將時間轉換為 0.5 分鐘。接著，確認該分配為參數 β=3 的指數分配，直接計算 P(X > 0.5) 的定積分或代入指數分配的右尾機率公式即可求解。

看到指數分配與卜瓦松分配的轉換，應立即聯想到「事件發生間隔時間為指數分配，則特定時間內發生次數必呈卜瓦松分配」的對偶特性。本題關鍵在於先由指數分配的機率密度函數推導出單位時間的發生率 $\lambda$，將其轉換為 5 分鐘內的期望發生次數後，再代入卜瓦松分配公式求解。