普考申論題
107年
[經建行政] 統計學概要
第 二 題
📖 題組：
臺北市 A 公車站每隔 5 分鐘就有一輛公車到站，乘客到達車站的任一時刻是均勻分配，若令隨機變數 X 為乘客到達車站後等待公車到達的候車時間，試求：
臺北市 A 公車站每隔 5 分鐘就有一輛公車到站，乘客到達車站的任一時刻是均勻分配，若令隨機變數 X 為乘客到達車站後等待公車到達的候車時間，試求：
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (二)
乘客到達車站後等待公車到達的候車時間不超過 3 分鐘的機率為何？（6 分）
思路引導 VIP
本題要求計算均勻分配下特定區間的機率。要求 P(X ≤ 3)。對於均勻分配，機率 = (上限 - 下限) × 密度函數高度，或者直接以面積圖形概念來解，即底寬為 3，高為 1/5。
小題 (一)
請寫出隨機變數 X 的機率分配 f(x) 為何？（6 分）
思路引導 VIP
題目已明確指出「均勻分配 (Uniform Distribution)」且公車每 5 分鐘一班，代表乘客等車的時間最少 0 分鐘，最多 5 分鐘。因此隨機變數 X 定義在區間 [0, 5] 上。寫均勻分配時，務必寫出其機率密度函數 (PDF) 以及 X 的有效範圍，缺一不可。
小題 (三)
若乘客甲、乙、丙三人分別獨立地在 A 車站等 1、2、3 路公車，則三人中至少有兩人等待公車到達的候車時間不超過 2 分鐘的機率為何？（10 分）
思路引導 VIP
這是一個複合題，結合了均勻分配與二項分配。首先，要算出「單一乘客等車不超過 2 分鐘」的成功機率 (p)。接著，視三位乘客為 3 次獨立試驗 (n=3)，成功次數為 Y。題目問「至少有兩人成功」，即求 P(Y ≥ 2) = P(Y=2) + P(Y=3)。這考驗考生轉換機率模型的綜合能力。