普考申論題
114年
[統計] 統計學概要
第 三 題
📖 題組：
某城市消防局接到求救電話的頻率為平均每小時 1.6 通。假設每小時的來電數量服從卜瓦松（Poisson）機率分配。
某城市消防局接到求救電話的頻率為平均每小時 1.6 通。假設每小時的來電數量服從卜瓦松（Poisson）機率分配。
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (三)
請問兩通求救電話之間的間隔時間多於 5 分鐘，但少於 20 分鐘的機率是多少？（答案可用指數 e 表示，不需展開計算出數值）（10 分）
思路引導 VIP
看到「單位時間內發生次數服從卜瓦松分配」，要求計算「兩次事件發生間隔時間的機率」，應立即聯想到「卜瓦松過程的相鄰事件間隔時間服從指數分配（Exponential Distribution）」。本題計算關鍵在於維持「時間單位的基準一致」，需將題目給定的分鐘轉換為小時，再代入指數分配的累積分配函數（CDF）即可求得精確解。
小題 (一)
在顯著水準為 0.01 之下，試檢定廠商之宣稱是否成立？
思路引導 VIP
看到檢定題目，首先確立母體參數與假設（欲支持的廠商宣稱應放在對立假設進行右尾檢定）。接著確認樣本數大小與母體變異數是否已知，此題樣本數 n=50 大於 30 屬大樣本且母體標準差未知，故依據中央極限定理，可以樣本標準差替代，採標準常態 Z 分配進行大樣本近似檢定（若採嚴謹的 t 檢定亦可，需留意臨界值之差異）。
小題 (二)
若燈泡一出廠就有瑕疵而無法使用的機率為 0.005，而其餘燈泡之壽命服從平均數為 105 天之指數分配。試問壽命低於 5 天之機率為何？
思路引導 VIP
本題測驗「全機率定理」與「指數分配」的綜合應用。考生需意識到燈泡分為「有瑕疵」與「無瑕疵」兩種互斥狀態，並利用全機率定理將這兩種狀態下壽命低於 5 天的機率進行加權總和計算。
卜瓦松與指數分配轉換
💡 卜瓦松過程下，事件發生次數與間隔時間的分布轉換關係。
🔗 卜瓦松間隔時間解題流程
- 1 確定發生率 λ — 找出單位時間內的平均發生次數。
- 2 統一時間單位 — 將 λ 與題目所求時間 t 換算至相同基準。
- 3 建立機率模型 — 宣告間隔時間 T 服從參數為 λ 的指數分配。
- 4 區間機率運算 — 利用累積分配函數 F(t2) - F(t1) 求得解答。
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🔄 延伸學習：延伸學習：若求第 k 次事件發生時間，則需使用伽瑪分配。
