高考申論題
109年
[氣象] 大氣物理學(包括大氣輻射與雲物理)
第 五 題
一個半徑為200微米（μm）的小雨滴從雲層底部向地面掉落的過程中，經過500秒後，小雨滴完全蒸發不見。假設雲層底部到地面間的飽和比（saturation ratio）為常數，不隨高度變化。雲底的溫度與氣壓分別為12℃與850 hPa，即常態化凝結成長參數（normalized condensation growth parameter）ξ1為100 μm^2 s^-1，並且雨滴下落過程的周圍環境溫度與氣壓的變化也使常態化凝結成長參數維持不變。試問雲層底部到地面間的相對濕度為何？（12分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
本題考查雲微物理中的水滴蒸發方程式。看到此題應立刻聯想到水滴擴散成長/蒸發的基本公式 r(dr/dt) = ξ₁(S-1)，並透過分離變數積分，代入邊界條件（初半徑、末半徑為0、時間與成長參數）來求得未知的飽和比，進而轉換為相對濕度。
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【解題思路】利用水滴凝結/蒸發的擴散成長方程式 $r \frac{dr}{dt} = \xi_1 (S-1)$，將半徑從 $200 \mu m$ 積分至 $0 \mu m$，並代入給定時間與常態化凝結成長參數，即可解出飽和比與相對濕度。 【詳解】 已知條件整理：
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水滴擴散成長與蒸發
💡 運用擴散方程式計算水滴在不飽和環境下的蒸發速率
🔗 水滴蒸發問題求解流程
- 1 建立物理模型 — 確立擴散成長方程與初始/最終半徑條件
- 2 數學分離變數 — 將半徑 r 與時間 t 移至等號兩側以利積分
- 3 定積分運算 — 代入時間 0-500s 與半徑 200-0μm 求解
- 4 結果換算 — 由飽和比 S 求得相對濕度 RH百分比
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🔄 延伸學習：進階思考：若環境溫度隨高度變化，成長參數 ξ1 將不再是常數。
