第 五 題

考生看到此題應立刻辨識出這是「簡單隨機抽樣（取出不放回）」中估計母體比例的樣本數計算題。解題關鍵在於利用前次調查結果作為母體比例的預估值（$p=0.2$），並務必考量母體大小（$N=500$）使用「有限母體校正因子（FPC）」來調整樣本數。

1. 辨識抽樣法：這是一階段叢集抽樣 (One-stage Cluster Sampling)，因為抽出了 15 個「分店」（叢集），並調查該分店內「所有」員工。
2. 母體總數估計：利用樣本內支持人數的平均值 $\bar{a}$ 乘上總分店數 $N=100$。

1. 比例估計：在叢集抽樣中，比例 $\hat{p}$ 實際上是一個「比率估計量」(Ratio Estimator)，公式為 $\hat{p} = \sum a_i / \sum M_i$。
2. 變異數估計：比例估計量的變異數公式較複雜，涉及 $a_i - \hat{p}M_i$ 的變項：$\hat{V}(\hat{p}) = \frac{1-f}{n \bar{M}^2} \frac{\sum (a_i - \hat{p}M_i)^2}{n-1}$。

1. 樣本數計算：針對叢集抽樣的比例估計量。
2. 公式：$n = \frac{N s_c^2}{N D + s_c^2}$，其中 $s_c^2$ 是叢集變異數 $\frac{\sum (a_i - \hat{p}M_i)^2}{n-1}$，而 $D = (B^2 \bar{M}^2) / z^2$。

看到題目提供未參與抽樣設計的母體輔助資訊（年齡結構戶數）時，應立即想到『事後分層估計（Post-stratification）』。解題需先從總樣本拆解出各層的樣本數與贊成數，求出各層樣本比例後，再以母體真實比例作為權重加權。評價時需從『樣本結構失衡校正』與『層間差異大可降低變異數』兩個抽樣理論切入說明。