地特三等申論題 110年 [交通技術] 統計學

第一題

📖 題組：
設 X 為一隨機變數，其機率分配如下，令 Y = (2X - 1)^2，試求： | X | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | |---|---|---|---|---|---| | f(x) | p | 4p | 2p | p | 2p |

📝 此題為申論題，共 2 小題

小題 (一)

期望值 E(Y^2)。（5 分）

看到含未知數 p 的機率分配表，第一步先利用「機率總和為1」的公理求出 p 值。接著，根據期望值的定義 E[g(X)] = Σ g(x)f(x)，將 Y^2 = (2X-1)^4 與對應的機率值相乘加總即可求得。

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【解題思路】利用離散型隨機變數機率總和為 1 之性質求出未知參數 p，再代入期望值定義式 $E[g(X)] = \sum g(x)f(x)$ 進行計算。【詳解】 Step 1：求解未知參數 $p$

共變異數 Cov (X, Y)。（5 分）

面對此類離散型隨機變數問題，首要步驟是利用「機率總和為 1」的公理求解未知數 p。接著，利用共變異數的定義公式 Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y]，並搭配期望值算符的線性性質，將問題轉化為求 X 的各階動差（E[X], E[X²], E[X³]）即可嚴謹求得解答。

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【解題思路】利用機率公理求出未知參數 p 後，計算 X 的各階動差，再透過期望值算符的線性性質與共變異數定義 Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y] 進行逐步推導。【詳解】已知：離散型隨機變數 X 的機率總和必為 1，即 $\sum f(x) = 1$。