地特三等申論題
110年
[工業工程] 作業研究
第 一 題
📖 題組：
考慮以下線性規劃問題。 Maximize Z = x₁ - x₂ + 2x₃ Subject to -x₁ + x₂ + x₃ ≤ 2 (資源1) 2x₁ - x₂ + x₃ ≤ 1 (資源2) x₁ + x₂ + 3x₃ ≤ 6 (資源3) x₁, x₂, x₃ ≥ 0 已知此問題之最佳解的基變數（Basic Variable）為 x₂、x₃ 及第三條限制式的差額變數（Slack Variable）。
考慮以下線性規劃問題。 Maximize Z = x₁ - x₂ + 2x₃ Subject to -x₁ + x₂ + x₃ ≤ 2 (資源1) 2x₁ - x₂ + x₃ ≤ 1 (資源2) x₁ + x₂ + 3x₃ ≤ 6 (資源3) x₁, x₂, x₃ ≥ 0 已知此問題之最佳解的基變數（Basic Variable）為 x₂、x₃ 及第三條限制式的差額變數（Slack Variable）。
📝 此題為申論題，共 4 小題
小題 (一)
建構最佳解之基底矩陣 B。(5 分)
思路引導 VIP
面對求基底矩陣的題型，第一步必須將原問題加入差額變數（Slack Variables）轉換為標準型（Standard Form），寫出完整的係數矩陣 A。第二步，根據題目給定的最佳解基變數，從矩陣 A 中提取出對應的行向量，依序排列即可得到基底矩陣 B。
小題 (二)
以高斯-喬登法（Gauss-Jordan Method）求出 B⁻¹。(5 分)
思路引導 VIP
面對求基底反矩陣的問題，首先需將線性規劃模式加入差額變數（Slack Variables）轉為標準式。接著依題目給定的最佳基變數組合，取出對應的行向量構成基底矩陣 B，最後利用高斯-喬登法將增廣矩陣 [B | I] 經列運算化簡為 [I | B⁻¹] 即可得解。
小題 (三)
利用小題(二)所得之 B⁻¹ 求出最佳解及其目標函數值。(10 分)
思路引導 VIP
本題測驗矩陣形式單純形法（Matrix Simplex Method）的核心運算概念。運用矩陣公式 $X_B = B^{-1}b$ 可求得基變數的最佳解，再代入目標函數公式 $Z = C_B X_B$ 即可求得最佳目標函數值。
小題 (四)
利用小題(二)所得之 B⁻¹ 求出各種資源之陰影價格。(5 分)
思路引導 VIP
看到求「陰影價格（Shadow Price）」，應立即連結到其數學本質即為對偶變數（Dual Variables）的最佳解。解題關鍵在於熟記公式 y = c_B * B^(-1)，先明確列出基本變數對應的目標函數係數向量 c_B，再代入前一小題求得的反矩陣 B^(-1) 進行矩陣相乘即可精準得分。