普考申論題 110年 [交通技術] 統計學概要

第一題

📖 題組：
經調查得出機車每公升耗油量行駛之距離之平均值為 38.5 公里，標準差為 6 公里；有甲、乙兩廠商研發出機車省油裝置，甲廠商之裝置可使每公升行駛距離增加 3.5 公里，乙廠商之裝置可使每公升行駛距離提升 17%，試回答下列問題：

📝 此題為申論題，共 2 小題

小題 (一)

裝設甲廠商省油裝置後，機車每公升耗油量可行駛距離之平均值與標準差。（5 分）

看到本題應立即聯想「隨機變數的線性轉換」性質。甲廠商裝置的效果相當於將原變數加上一個常數（Y = X + c），此時平均數會跟著平移增加該常數，但標準差不受平移影響而保持不變。

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【解題關鍵】利用隨機變數的線性轉換性質：$E(X+c) = E(X)+c$，$SD(X+c) = SD(X)$。【解答】計算：

裝設乙廠商省油裝置後，機車每公升耗油量可行駛距離之平均值與標準差。（5 分）

本題測驗隨機變數的線性轉換性質。看到「依比例提升」應立即聯想到乘法轉換 $Y = aX$，並運用期望值 $E(aX) = aE(X)$ 與標準差 $\sigma_{aX} = |a|\sigma_X$ 的公式進行求解。

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【解題關鍵】利用隨機變數的線性轉換性質：$E(aX) = aE(X)$ 及 $\sigma_{aX} = |a|\sigma_X$。【解答】計算：