第 三 題

本題需要綜合運用前兩小題的數據。首先算出 E(XY)，代入 Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) 得到共變異數。接著使用相關係數公式 ρ = Cov(X,Y) / [σ_X * σ_Y]。最後根據相關係數的正負號來判定相關方向。

看到聯合機率分配表，第一步應將其視為邊際機率。由於表中每組 (x, y) 只有一個非零機率值，表示 X 與 Y 是一一對應發生的。考生應分別列出 X 與 Y 的邊際機率分配，接著代入離散型隨機變數的期望值公式 E(X) = Σ x·P(x) 以及變異數公式 Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 進行計算。

這題有兩種解法：一是利用期望值與變異數的運算性質，但計算 Var(X+Y) 需要先知道共變異數 Cov(X,Y)，這會與第三小題重疊；二是直接定義一個新變數 Z = X+Y，計算每一組 (x,y) 加總後的數值與對應機率，這也是最直觀不易出錯的解法。建議考生採用定義新變數的解法。

看到「邊際誤差控制在特定數值內」並要求計算「選取多少位客人（樣本數）」，應立刻想到常態分配下母體平均數的邊際誤差公式 E = Z_α/2 × (σ / √n)。將已知的母體標準差與 95% 信賴水準對應的 Z 值代入不等式求解，並注意樣本數必須無條件進位取整數。