高考申論題
110年
[統計] 統計實務(以實例命題)
第 二 題
📖 題組：
甲市衛生單位欲對轄區內的水塔衛生進行調查，下表是該市的建築物數量分布：
假設每棟建築（無論是公寓、大廈、獨立透天厝）都恰有一個水塔，且欲以 4%的抽樣比例取出 100 個水塔進行衛生調查。
(一)設計一個分層隨機抽樣法（stratified random sampling），使得所取出之100 個水塔，比例與上表一致。（5 分）
(二)設計一個群集抽樣法（cluster sampling），使得所取出之 100 個水塔，比例與上表一致。（15 分）
甲市衛生單位欲對轄區內的水塔衛生進行調查，下表是該市的建築物數量分布：
| 甲市行政區 | 公寓 | 大廈 | 獨立透天厝 | 總計 |
|---|---|---|---|---|
| A 區 | 400 | 100 | 500 | 1,000 |
| B 區 | 300 | 300 | 200 | 800 |
| C 區 | 100 | 300 | 300 | 700 |
| 總計 | 800 | 700 | 1,000 | 2,500 |
(一)設計一個分層隨機抽樣法（stratified random sampling），使得所取出之100 個水塔，比例與上表一致。（5 分）
(二)設計一個群集抽樣法（cluster sampling），使得所取出之 100 個水塔，比例與上表一致。（15 分）
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (二)
甲市衛生單位欲對轄區內的水塔衛生進行調查，下表是該市的建築物數量分布：
假設每棟建築（無論是公寓、大廈、獨立透天厝）都恰有一個水塔，且欲以 4% 的抽樣比例取出 100 個水塔進行衛生調查。
設計一個群集抽樣法（cluster sampling），使得所取出之 100 個水塔，比例與上表一致。（15 分）
| 甲市行政區 | 公寓 | 大廈 | 獨立透天厝 | 總計 |
|---|---|---|---|---|
| A 區 | 400 | 100 | 500 | 1,000 |
| B 區 | 300 | 300 | 200 | 800 |
| C 區 | 100 | 300 | 300 | 700 |
| 總計 | 800 | 700 | 1,000 | 2,500 |
設計一個群集抽樣法（cluster sampling），使得所取出之 100 個水塔，比例與上表一致。（15 分）
思路引導 VIP
- 理解群集抽樣特性：群集抽樣是將母體分成若干群（Cluster），隨機抽取部分「群」後對群內所有單位進行普查。但本題要求「比例與上表一致」，這對群集抽樣來說非常困難，因為群內結構通常難以控制。
- 設計符合題意的「群」：若要比例一致，唯一的辦法是設計出的每一個「群」其內部結構都剛好等於母體結構的縮小版。例如，一個群包含 25 個水塔，且這 25 個水塔的分布比例與母體（800:700:1000）一致。
小題 (一)
甲市衛生單位欲對轄區內的水塔衛生進行調查，下表是該市的建築物數量分布：
假設每棟建築（無論是公寓、大廈、獨立透天厝）都恰有一個水塔，且欲以 4% 的抽樣比例取出 100 個水塔進行衛生調查。
設計一個分層隨機抽樣法（stratified random sampling），使得所取出之 100 個水塔，比例與上表一致。（5 分）
| 甲市行政區 | 公寓 | 大廈 | 獨立透天厝 | 總計 |
|---|---|---|---|---|
| A 區 | 400 | 100 | 500 | 1,000 |
| B 區 | 300 | 300 | 200 | 800 |
| C 區 | 100 | 300 | 300 | 700 |
| 總計 | 800 | 700 | 1,000 | 2,500 |
設計一個分層隨機抽樣法（stratified random sampling），使得所取出之 100 個水塔，比例與上表一致。（5 分）
思路引導 VIP
- 辨識分層基礎：本題有兩個分類維度（行政區、建築種類），要讓比例與表一致，最精確的方式是將這 3x3=9 個單元格（Cells）各視為一個層（Strata）。
- 計算各層樣本數：題目給定抽樣比例為 4%，總樣本數為 100。應採用「比例配置法」（Proportional Allocation），即各層樣本數 $n_h = N_h \times (\text{抽樣率})$。