第 三 題

這題要求的是 $\bar{y}$ (樣本平均數) 的偏誤。偏誤 = $E[\bar{y}] - \mu$。母體平均 $\mu$ 很容易計算。關鍵在於算出 $E[\bar{y}]$，這需要列出所有可能的樣本組合，算出各組合的平均值，再乘以該組合發生的機率進行期望值加總。注意，如果樣本大小 $n$ 不固定，計算平均時要用該次樣本的實際 $n$。

本題屬於「適應性抽樣」或「非等機率抽樣」的變形。解題重點在於釐清「樣本空間」的所有可能路徑。首先要識別哪些區域是相鄰的（1-2, 1-3, 2-4, 3-4），哪些不相鄰（1-4, 2-3）。接著，根據第一階段抽中 1, 2, 3, 4 的四種初始情況，分別計算第二階段會產生的樣本組合及其機率。最後檢查樣本組合是否包含 {2, 3}。

包含機率 $\pi_i$ 是指該單位在所有可能的樣本組合中出現的機率總和。我們需要回到(一)所列出的所有樣本路徑，找出哪些路徑包含「區域 4」，並將這些路徑的機率相加。

MSE 的定義是 $E[(\bar{y} - \mu)^2]$。我們已經有了所有樣本的 $\bar{y}$、機率 $P(s)$ 以及母體平均 $\mu=10$。直接帶入公式計算即可。