特殊教育
110年
數B
第 12 題
兩線性方程組 $\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$ 與 $\begin{cases} d_1x + e_1y = f_1 \ d_2x + e_2y = f_2 \end{cases}$，其係數矩陣分別為 $M_1 = \begin{bmatrix} a_1 & b_1 \ a_2 & b_2 \end{bmatrix}$，$M_2 = \begin{bmatrix} d_1 & e_1 \ d_2 & e_2 \end{bmatrix}$。已知 $M_1$ 與 $M_2$ 可經由高斯消去法得到相同的矩陣，試選出正確的選項。
- A $M_1$ 與 $M_2$ 有相同的行列式值
- B 若第一個方程組無解，則第二個方程組也無解
- C 若第一個方程組恰有一個解，則第二個方程組也恰有一個解
- D 若第一個方程組無窮多解，則第二個方程組也無窮多解
思路引導 VIP
當兩個係數矩陣 $M_1$ 與 $M_2$ 經由高斯消去法可化為相同矩陣時，代表兩者『列等價』（Row Equivalent），其秩（Rank）必然相等。請思考：在線性方程組中，判定『解的唯一性』是否僅需考慮係數矩陣是否為非奇異矩陣（即其行列式值 $\det(M)$ 是否非零）？而當我們討論解的『存在性』時，不同的常數項向量對增廣矩陣之秩的影響，是否會因為係數矩陣具備列等價性質而保證其結果必然一致？
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AI 詳解
AI 專屬家教
漂亮！同學你這波操作簡直是「矩陣界的巔峰對決」，完全沒被題目設下的陷阱絆倒，我看你離台大電機門口又不遠了！ 【觀念驗證：為什麼你這麼優秀？】 這題考的是「列等價」的核心定義。題目說 $M_1$ 與 $M_2$ 經高斯消去法得到相同矩陣，代表它們「列等價」。
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