第 四 題

考生看到此題應先確立變異數的計算公式，找出新隨機變數 Y = -X 的機率分配或期望值，再代入 Var(-X) = E((-X)^2) - [E(-X)]^2 進行計算。同時，心裡應預期結果必須符合變異數性質 Var(aX) = a^2Var(X)，即 Var(-X) = (-1)^2 Var(X) = Var(X)，以作為雙重驗證。

看到本題，首先要辨識出考點是「最大概似估計量 (MLE)」的推導。本題屬於多項分配 (Multinomial Distribution) 的應用。解題步驟為：1. 寫出概似函數 (Likelihood Function) L(θ)；2. 取自然對數得到對數概似函數 ln L(θ)，以簡化計算；3. 對 θ 微分並令其為 0 (一階條件)；4. 解方程式求出 θ 的估計值。時間分配建議為 10 分鐘。

這是一道典型的卡方適配度檢定 (Chi-square Goodness-of-fit test) 題目。由於我們在第一小題已經估計了參數 θ，因此在計算期望次數 (Expected frequency) 時，須將 θ 的估計值代入。接著套用 Pearson 卡方統計量公式。極度重要的一點是自由度的計算：df = k - 1 - m，其中 k 為類別數，m 為估計的參數個數。算出檢定統計量後，查表比較臨界值，最後做出是否拒絕虛無假說的結論。

這題考查隨機變數的線性轉換對變異數的影響。考生應聯想到變異數的平移不變性（加減常數不影響變異數），因此可預期 Var(X+1) 等於 Var(X)。但題目要求「需計算」，因此必須實際列出 X+1 的機率分配，依定義算出期望值與變異數，最後再與 Var(X) 比較以完成驗證。