第 二 題

本子題要求找出滿足「連續方程式」的條件。思考邏輯是：1. 題目明示流體為「不可壓縮流體（Incompressible fluid）」。2. 二維不可壓縮流體的連續方程式為質量守恆，即 $\nabla \cdot \vec{V} = 0$ 或 $\partial u / \partial x + \partial v / \partial y = 0$。3. 將第一小題求出的 $u$ 和 $v$ 函數代入連續方程式中，進行偏微分。4. 運算後會得到一個方程式，這就是限制常數之間關係的條件（實際上就是拉普拉斯方程式 $\nabla^2 \phi = 0$）。

本子題考驗勢流理論（Potential Flow）的基礎概念。看到「速度勢能函數 $\phi$」，應立刻聯想到它與速度分量的關係。對於二維流場，速度向量是速度勢函數的梯度，即 $\vec{V} = \nabla \phi$。因此，$x$ 方向速度分量 $u = \partial\phi/\partial x$，$y$ 方向速度分量 $v = \partial\phi/\partial y$。只要對題目給定的多項式分別對 $x$ 和對 $y$ 作偏微分即可得分。注意：部分教科書會定義 $\vec{V} = -\nabla \phi$，在考卷上只要清楚列出你使用的定義式，兩者計算結果皆可被接受，但主流多以正號為主。