高考申論題
111年
[統計] 抽樣方法
第 二 題
📖 題組：
南興社區疑似爆發某流行病之群聚感染，為規劃後續防疫措施，亟需先行瞭解該社區染病人數。現有兩種檢測方法可用於檢測是否染病，檢測方法 A 可迅速得到結果，但其精確程度較不理想，而檢測方法 B 雖可提供相當精確之結果，但其所需檢驗程序繁複，若要爭取時效，僅能施測 30 位。今先以方法 A 對該社區所有之 500 位居民進行檢測，驗得其陽性比例為 0.6，再以簡單隨機抽樣取出不放回之方式，由全社區之居民中選擇 30 位以方法 B 進行施測，驗得其陽性為 15 人，而這 30 位受測者以方法 A 施測之陽性人數為 13 人，且 30 人中有 26 位以方法 A 及方法 B 檢驗之結果相同。請回答下列問題：
南興社區疑似爆發某流行病之群聚感染，為規劃後續防疫措施，亟需先行瞭解該社區染病人數。現有兩種檢測方法可用於檢測是否染病，檢測方法 A 可迅速得到結果，但其精確程度較不理想，而檢測方法 B 雖可提供相當精確之結果，但其所需檢驗程序繁複，若要爭取時效，僅能施測 30 位。今先以方法 A 對該社區所有之 500 位居民進行檢測，驗得其陽性比例為 0.6，再以簡單隨機抽樣取出不放回之方式，由全社區之居民中選擇 30 位以方法 B 進行施測，驗得其陽性為 15 人，而這 30 位受測者以方法 A 施測之陽性人數為 13 人，且 30 人中有 26 位以方法 A 及方法 B 檢驗之結果相同。請回答下列問題：
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (二)
是否可以整合兩種方法推估本社區染病人數？若您認為可以，請敘述您採用的推估方式、本社區染病人數推估值及其 95%信賴區間，同時請問在上述兩種推估方式中，您會採取那一種及您的理由。（15 分）
思路引導 VIP
- 辨識核心概念：方法 A 有全員數據 ($N=500$) 但不準，方法 B 準確但只有樣本 ($n=30$)。這符合「輔助變數 (Auxiliary variable)」的使用情境。常見方法有：比例估計 (Ratio estimation)、迴歸估計 (Regression estimation) 或差異估計 (Difference estimation)。
- 選擇方法：本題資料為二元分類（陽性/陰性）。題目提到 30 人中有 26 人結果相同，顯示 A 與 B 高度相關。由於 A 是對全員施測，我們已知 A 的母體比例 $\mu_x = 0.6$。最適合且計算較簡便的是「差異估計量」或「迴歸估計量」。
小題 (一)
若僅以方法 B 施測所得之結果推估本社區染病人數，請問其估計值及 95%信賴區間為何？（5 分）
思路引導 VIP
- 辨識抽樣設計：題目明確指出是從 $N=500$ 的母體中，以「簡單隨機抽樣 (SRS)」取出 $n=30$ 人。這是最基礎的 SRS 推論問題。
- 參數估計：目標是推估「總人數」($ au$)。首先計算樣本比例 ($hat{p}$)，再乘以母體總數 ($N$)。