高考申論題
108年
[統計] 抽樣方法
第 一 題
📖 題組：
某市政府之行政區按區域別分為南區與北區，該市人事長想了解該市職工去年上半年（1~6 月份）與今年上半年（1~6 月份）因生病請假時數之變動比率，分別自南、北兩區各以簡單隨機抽樣抽出 100 名職工進行調查，得相關統計資料如下： (表格數據：南區 N1=1000, n1=100, Xbar1=18, Ybar1=18.9, Sx1=10, Sy1=10.36, rho1=0.9841；北區 N2=1500, n2=100, Xbar2=7.5, Ybar2=4.8, Sx2=5.45, Sy2=3.50, rho2=0.5576) 已知去年上半年南區總時數 τX1 = 16,300，北區 τX2 = 13,800。
某市政府之行政區按區域別分為南區與北區，該市人事長想了解該市職工去年上半年（1~6 月份）與今年上半年（1~6 月份）因生病請假時數之變動比率，分別自南、北兩區各以簡單隨機抽樣抽出 100 名職工進行調查，得相關統計資料如下： (表格數據：南區 N1=1000, n1=100, Xbar1=18, Ybar1=18.9, Sx1=10, Sy1=10.36, rho1=0.9841；北區 N2=1500, n2=100, Xbar2=7.5, Ybar2=4.8, Sx2=5.45, Sy2=3.50, rho2=0.5576) 已知去年上半年南區總時數 τX1 = 16,300，北區 τX2 = 13,800。
📝 此題為申論題，共 4 小題
小題 (一)
試估計該市南區職工去年上半年（1~6 月份）至今年上半年（1~6 月份）因生病請假的時數之變動比率 R 為何？又在 95% 的信賴度下，其最大可能估計誤差界限 B 為何？（6 分）
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針對南區（單層）進行比率估計 $\hat{R} = \bar{y}/\bar{x}$。計算變異數時需使用相關係數 $\rho$ 的公式：$s_R^2 = s_y^2 + R^2 s_x^2 - 2R\rho s_x s_y$。
小題 (二)
對於(一)之估計問題，若要求在 95% 的信賴度下，其最大可能估計誤差界限 B 不超過 0.02，試問應抽出多少樣本才足夠？（6 分）
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利用 (一) 算出的變異成分反推樣本數。公式為 $n = \frac{N s_d^2}{N D + s_d^2}$，其中 $D = (B \cdot \bar{X} / z)^2$。
小題 (三)
試以比率估計（ratio estimation）估計該市南區職工今年上半年（1~6 月份）因生病請假的平均時數 μY1 及該市北區職工今年上半年（1~6 月份）因生病請假的平均時數 μY2。（6 分）
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使用比率估計量來估計母體平均數，即 $\hat{\mu}_Y = \hat{R} \cdot \mu_X$。這裡的 $\mu_X$ 必須是母體真值，由總時數 $\tau_X$ 除以 $N$ 得到。
小題 (四)
若視上述調查資料為分兩層（南區及北區），利用分層隨機抽樣法調查所得，請你幫忙該市人事長用層別比率估計式（separate ratio estimator）估計該市 2,500 位職工今年上半年（1~6 月份）因生病請假的平均時數 μY。又其在 95% 的信賴度下，其最大可能估計誤差界限 B 為何？（6 分）
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個別比率估計（Separate Ratio Estimator）是先在各層計算比率估計，再加權平均。變異數則是各層變異數的加權平方和。