高考申論題
106年
[統計] 抽樣方法
第 一 題
📖 題組：
大方文創商品公司共有 50 家分店，去年第 1 季的營業額為 3,950 萬元，為了解今年第 1 季的營運狀況，自 50 家分店中抽出 6 家分店調查，得各分店去年第 1 季的營業額（ $x_i$）及今年第 1 季的營業額（ $y_i$）如下：（單位：萬元） 分店 1 2 3 4 5 6 $x_i$: 41, 83, 101, 80, 85, 70 $y_i$: 63, 121, 97, 110, 83, 101 (一)試估計大方文創商品公司今年的營業成長率。利用比率估計式（ratio estimator）估計公司今年第 1 季的營業額，並求算其標準誤。（10 分） (二)試利用迴歸估計式（regression estimator）估計公司今年第 1 季的營業額，並求算其標準誤。（10 分） (三)試說明並評估那種估計式較佳。（5 分）
大方文創商品公司共有 50 家分店，去年第 1 季的營業額為 3,950 萬元，為了解今年第 1 季的營運狀況，自 50 家分店中抽出 6 家分店調查，得各分店去年第 1 季的營業額（ $x_i$）及今年第 1 季的營業額（ $y_i$）如下：（單位：萬元） 分店 1 2 3 4 5 6 $x_i$: 41, 83, 101, 80, 85, 70 $y_i$: 63, 121, 97, 110, 83, 101 (一)試估計大方文創商品公司今年的營業成長率。利用比率估計式（ratio estimator）估計公司今年第 1 季的營業額，並求算其標準誤。（10 分） (二)試利用迴歸估計式（regression estimator）估計公司今年第 1 季的營業額，並求算其標準誤。（10 分） (三)試說明並評估那種估計式較佳。（5 分）
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
試估計大方文創商品公司今年的營業成長率。利用比率估計式（ratio estimator）估計公司今年第 1 季的營業額，並求算其標準誤。（10 分）
思路引導 VIP
本題考查「比率估計式（Ratio Estimation）」的應用。首先需計算樣本的目標變數與輔助變數總和之比率 $\hat{R}$，此即為營業成長率；接著將 $\hat{R}$ 乘上已知的母體輔助變數總和 $\tau_x$ 求得總營業額估計值。計算標準誤時，務必正確計算比率估計的樣本變異數 $s_r^2 = \frac{\sum(y_i - \hat{R}x_i)^2}{n-1}$，並記得乘上有限母體修正項 (FPC)。
小題 (二)
試利用迴歸估計式（regression estimator）估計公司今年第 1 季的營業額，並求算其標準誤。（10 分）
思路引導 VIP
考生看到迴歸估計式，應優先寫出母體總數估計公式，並計算樣本的 $S_{xx}$、$S_{yy}$、$S_{xy}$ 及迴歸係數 $b$。計算標準誤時，需注意殘差變異數 $s_e^2$ 應除以自由度 $n-2$（小樣本考量），並記得乘上有限母體修正乘數 (fpc)。
小題 (三)
試說明並評估那種估計式較佳。（5 分）
思路引導 VIP
比較比率估計與迴歸估計的優劣，核心在於檢視兩者的適用條件與估計變異數（標準誤）大小。理論上迴歸估計式的漸近變異數恆小於或等於比率估計式，作答時應從線性模型是否通過原點及殘差變異數的角度切入分析。