地特三等申論題
111年
[統計] 抽樣方法
第 一 題
📖 題組：
欲了解醫院的醫療採購情形，由 120 家醫院抽樣調查 30 家醫院，取得下列（x, y）的樣本統計資訊。x：登記的病床數為輔助變數（單位：床），y：醫療採購金額為興趣變數（單位：萬元）： Σx = 22,500, Σy = 19,500, s_x^2 = 360,000, s_y^2 = 250,000, s_xy = 240,000 已知 120 家醫院登記的總病床數為 96,000。
欲了解醫院的醫療採購情形，由 120 家醫院抽樣調查 30 家醫院，取得下列（x, y）的樣本統計資訊。x：登記的病床數為輔助變數（單位：床），y：醫療採購金額為興趣變數（單位：萬元）： Σx = 22,500, Σy = 19,500, s_x^2 = 360,000, s_y^2 = 250,000, s_xy = 240,000 已知 120 家醫院登記的總病床數為 96,000。
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
用比率估計量（ratio estimator, y_R）及迴歸估計量（regression estimator, y_lr）估計平均一家醫院之醫療採購金額（Y）。（10 分）
思路引導 VIP
看到比率與迴歸估計，應先計算出樣本平均數(x̄, ȳ)與母體平均數(X̄)。接著分別代入比率估計量公式 [ȳ_R = (ȳ/x̄)X̄] 及迴歸估計量公式 [ȳ_lr = ȳ + b(X̄ - x̄)] 進行求解，其中迴歸係數 b = s_xy / s_x^2。
小題 (二)
求算前述兩個估計量相對於單位均數估計量（mean per unit estimator, y）的相對效率（relative efficiency）並比較分析其精確度（precision）。（10 分）
思路引導 VIP
面對此題組，考生應先意識到「前述兩個估計量」指的是利用輔助變數 $x$ 的比率估計量（Ratio Estimator）與迴歸估計量（Regression Estimator）。解題步驟應先計算有限母體修正乘數與三種估計量（單位均數、比率、迴歸）的變異數估計值，再代入相對效率公式 $RE = \hat{V}(\bar{y}) / \hat{V}(\text{其他估計量})$ 求解，最後藉由變異數大小及 $x, y$ 的相關性來剖析精確度。