第 三 題

這題考的是直觀理解與公式推導。當樣本數 n 增加，標準誤 SE = σ/√n 會減小，代表分配變得更「瘦高」、估計更精確。在拒絕域（臨界值）不變的情況下，原本位於 μ=21.28 左側的臨界值 20.64 會距離中心更遠（以標準差倍數計）。考生應思考：當 n 增加，落在 20.64 以下的面積（機率）會如何變化？

型一錯誤 (α) 的定義是在虛無假設 H_0 為真時，卻拒絕了 H_0 的機率。拒絕域已經由題目給定為 {X̄ > 20.64}。因此，計算 α = P(X̄ > 20.64 | μ = 20)。此時需利用樣本平均數的分配，由於 n=36 夠大，根據中央極限定理，X̄ 服從常態分配。注意：在此計算 α 時，標準差應使用母體標準差的估計值（樣本標準差 s=3）。

型二錯誤 (β) 的定義是在對立假設 H_1 為真（本題指定 μ = 21.28）時，卻未拒絕 H_0（即落在接受域）的機率。接受域為 {X̄ ≤ 20.64}。因此，計算 β = P(X̄ ≤ 20.64 | μ = 21.28)。