高考申論題
107年
[經建行政] 統計學
第 三 題
📖 題組：
設隨機變數 X 服從常態分配，具有平均數 μ 未知，變異數 4，從該母體 X 取出一組隨機樣本，有 5 個觀察值，數值如下：2, 3, 4, 4, 2。現進行 H_0：μ = 1.4，H_a：μ > 1.4 之檢定。 (一)試問該組樣本（前述觀測值樣本）平均數所對應的觀測值的顯著水準（亦稱 p 值）？（10 分） (二)在型一誤差機率為 0.05 之下，試問接受或拒絕虛無假設 H_0？（5 分） (三)使用型一誤差機率為 0.05 的拒絕域，求 H_a：μ = 2.645 的檢定力。（10 分）
設隨機變數 X 服從常態分配，具有平均數 μ 未知，變異數 4，從該母體 X 取出一組隨機樣本，有 5 個觀察值，數值如下：2, 3, 4, 4, 2。現進行 H_0：μ = 1.4，H_a：μ > 1.4 之檢定。 (一)試問該組樣本（前述觀測值樣本）平均數所對應的觀測值的顯著水準（亦稱 p 值）？（10 分） (二)在型一誤差機率為 0.05 之下，試問接受或拒絕虛無假設 H_0？（5 分） (三)使用型一誤差機率為 0.05 的拒絕域，求 H_a：μ = 2.645 的檢定力。（10 分）
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (三)
使用型一誤差機率為 0.05 的拒絕域，求 H_a：μ = 2.645 的檢定力。（10 分）
思路引導 VIP
本題測驗假設檢定中「檢定力 (Power)」的計算。首先需根據 α=0.05 及母體變異數已知 (σ²=4) 的條件，推導出樣本平均數的拒絕域；接著在給定對立假設 μ=2.645 的新常態分配下，計算樣本平均數落入拒絕域的機率。
小題 (一)
當 Y=y 時，X 的條件機率密度函數 f_{X|Y}(x|y) 為何？
思路引導 VIP
這是一道標準的二維連續型隨機變數題。要求條件機率密度函數 $f_{X|Y}(x|y)$，必須先利用邊際分配定義求出分母 $f_Y(y)$（即將聯合 PDF 對 x 積分）。接著套用條件分配公式 $f_{X|Y} = f(x,y) / f_Y(y)$ 即可。重點在於正確執行瑕積分。建議時間 8 分鐘。
小題 (二)
P(0 ≤ X ≤ 1 | Y = 1) = ？
思路引導 VIP
有了(一)所求出的條件機率密度函數，這題就變成簡單的一維定積分。將 y = 1 帶入條件 PDF 得到一個僅含 x 的函數，然後將其在區間 [0, 1] 進行積分。建議作答時間 5 分鐘。