高考申論題
108年
[經建行政] 統計學
第 三 題
📖 題組：
下列兩個有關於 X 隨機變數的機率密度函數： H0: f(X) = 8X 0 < X < 1/2 = 0 其他 Ha: f(X) = 4 - 8X 0 < X < 1/2 = 0 其他
下列兩個有關於 X 隨機變數的機率密度函數： H0: f(X) = 8X 0 < X < 1/2 = 0 其他 Ha: f(X) = 4 - 8X 0 < X < 1/2 = 0 其他
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (三)
承(二)，計算出此題之統計檢定力。（10 分）
思路引導 VIP
本題接續求「檢定力 (Power)」。首先腦中要浮現檢定力的定義：Power = 1 - $\beta$ = P(拒絕 H0 | Ha 為真)。已知決策法則中拒絕 H0 的條件是 $X \le a$，且在上一題已求出 a = 1/8。接著只要在 Ha 的機率密度函數下，計算 0 到 1/8 的積分即可。
小題 (一)
請畫出此兩假說之機率密度函數圖。（5 分）
思路引導 VIP
這題要求畫出機率密度函數 (PDF) 圖形。首先確認兩函數的定義域都在 (0, 1/2) 之間。H0 是通過原點的斜直線 (斜率8)，在 X=1/2 時達到最大值 4；Ha 是從 (0,4) 出發往下遞減的斜直線 (斜率-8)，在 X=1/2 時到達 0。在作圖時，必須標出 X 軸與 Y 軸，畫出這兩條線段，並清楚標示端點座標。
小題 (二)
檢定之決策法則如下：某單一 X 值被觀察到，如果此 X 值超過某一特定值 a（0 < a < 1/2），則接受 H0；否則接受 Ha。如果已知 H0是對的，卻接受 Ha的機率為 1/16，請計算出 a 値。（10 分）
思路引導 VIP
這題是假設檢定核心觀念的計算。必須將文字轉換為統計語言：「如果 H0 是對的，卻接受 Ha」這就是 Type I Error ($\alpha$)。根據決策法則，當 $X \le a$ 時接受 Ha (拒絕 H0)。因此，要在 H0 的分配下，計算從 0 積到 a 的機率等於 1/16。利用積分計算二次方程式解出 a。