高考申論題
105年
[統計] 統計學
第 一 題
📖 題組：
設 x1, x2, ..., xn 為一組抽自平均數為 μ，變數為 σ² = 100 的常態母體之隨機樣本，μ 為未知參數。
設 x1, x2, ..., xn 為一組抽自平均數為 μ，變數為 σ² = 100 的常態母體之隨機樣本，μ 為未知參數。
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
試求（導出）檢定問題 H0：μ = 80 vs. H1：μ = 86 的最強力檢定（most powerful test）之最佳拒絕域 R 為何？（8 分）
思路引導 VIP
看到簡單假說對簡單假說的最強力檢定，必須直覺聯想到使用「奈曼-皮爾遜引理 (Neyman-Pearson Lemma)」。寫出兩假說下的概似函數比值，透過代數或取自然對數運算化簡不等式，最終找出以充分統計量（樣本平均數）表示的拒絕域形式，並以給定或假設的顯著水準 α 決定臨界值。
小題 (二)
對於(一)之檢定問題，試求滿足 P((x1, x2, ..., xn) ∈ R | H0) = P(X̄ ≥ k | H0) = 0.05 及 P((x1, x2, ..., xn) ∈ R | H1) = P(X̄ ≥ k | H1) = 0.95 要求下之樣本大小 n = ？及最佳拒絕域 R 之臨界值 k = ？（10 分）
思路引導 VIP
本題核心在於利用型 I 錯誤（α）與檢定力（1-β）的條件，建立關於樣本數 n 與臨界值 k 的聯立方程式。考量母體為常態分配，樣本平均數亦服從常態分配，透過標準化轉換為 Z 分數即可聯立求解。
小題 (三)
若檢定問題為 H0：μ = 80 vs. H1 : μ > 80，且樣本大小為 n = 25，試求在 α = 0.05 下，此檢定問題之齊一最強力檢定（uniformly most powerful test）之最佳拒絕域 R 為何？（8 分）
思路引導 VIP
看到求「齊一最強力檢定（UMP）」的題目，首先應聯想到 Neyman-Pearson 引理（N-P Lemma）。先針對簡單對立假設推導出概似比（Likelihood Ratio）的拒絕域形式，並證明該形式僅依賴於樣本平均數且與具體的對立假設參數無關，進而確認其為 UMP。最後再代入常態分配的標準化公式，利用給定的 α 水準求出臨界值。
📜 參考法條
Z_0.10 = 1.28
Z_0.05 = 1.645
Z_0.025 = 1.96