高考申論題
110年
[統計] 統計學
第 二 題
📖 題組：
二、令 X1, X2, . . . , Xn 為一組隨機抽自常態分配 N(0, σ^2)之樣本。假設 σ1^2 > σ0^2，在顯著水準 0.05 下： (一)試求檢定 H0 : σ^2 = σ0^2 vs. H1 : σ^2 = σ1^2 的最強力檢定（most powerful test）。（10 分） (二)試求檢定 H0 : σ^2 = σ0^2 vs. H1 : σ^2 > σ0^2 的齊一最強力檢定（uniformly most powerful test）。（5 分） (三)說明檢定 H0 : σ^2 = σ0^2 vs. H1 : σ^2 ≠ σ0^2 的齊一最強力檢定是否存在。（5 分）
二、令 X1, X2, . . . , Xn 為一組隨機抽自常態分配 N(0, σ^2)之樣本。假設 σ1^2 > σ0^2，在顯著水準 0.05 下： (一)試求檢定 H0 : σ^2 = σ0^2 vs. H1 : σ^2 = σ1^2 的最強力檢定（most powerful test）。（10 分） (二)試求檢定 H0 : σ^2 = σ0^2 vs. H1 : σ^2 > σ0^2 的齊一最強力檢定（uniformly most powerful test）。（5 分） (三)說明檢定 H0 : σ^2 = σ0^2 vs. H1 : σ^2 ≠ σ0^2 的齊一最強力檢定是否存在。（5 分）
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (二)
試求檢定 H0 : σ^2 = σ0^2 vs. H1 : σ^2 > σ0^2 的齊一最強力檢定（uniformly most powerful test）。（5 分）
思路引導 VIP
當對立假說變成複合假說（Composite Hypothesis）且具有單調似然比（Monotone Likelihood Ratio, MLR）性質時，MP 檢定可擴展為 UMP 檢定。此題只需說明 MP 檢定與具體的 σ1 無關即可。
小題 (一)
試求檢定 H0 : σ^2 = σ0^2 vs. H1 : σ^2 = σ1^2 的最強力檢定（most powerful test）。（10 分）
思路引導 VIP
針對「簡單對立假說（Simple vs. Simple）」，求「最強力檢定（MP test）」唯一的工具就是 Neyman-Pearson 引理。首先寫出 Likelihood Ratio（似然比），並將不等式簡化，找出檢定統計量及其分佈。注意母體平均數 μ 已知為 0。
小題 (三)
說明檢定 H0 : σ^2 = σ0^2 vs. H1 : σ^2 ≠ σ0^2 的齊一最強力檢定是否存在。（5 分）
思路引導 VIP
雙尾檢定通常不存在 UMP 檢定。原因是左尾最強力檢定與右尾最強力檢定的拒絕域不同，無法找到一個在整個對立空間都最強的檢定。