高考申論題 112年 [統計] 抽樣方法

第一題

某一民調公司在 12 月 1 日針對 1,200 位 20 歲以上民眾進行訪問，並發布其民意調查結果：甲候選人為 38%支持度，乙候選人為 34%支持度，尚未決定為 28%。請求出甲候選人和乙候選人支持度之間差異的 95%信賴區間。（10 分）

📝 此題為申論題

📜 參考法條

本試題可能使用之標準常態值如下：Z_0.025 = 1.96，Z_0.05 = 1.645 計算題的答案要求：1. 平均數取兩位小數（算到第三位小數然後四捨五入）。2. 次數或個數的答案取整數（算到第一位小數然後四捨五入）。3. 變異數取三位小數（算到第四位小數然後四捨五入）。

看到單一樣本但包含多個互斥選項的比例差異估計，應立即聯想「多項分配 (Multinomial Distribution)」的特性。計算兩候選人支持度差異的變異數時，務必計入兩者間的「負共變異數 (Negative Covariance)」，切勿誤用兩個獨立樣本的變異數相加公式。

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【解題關鍵】本題考查多項分配下兩互斥類別比例差異的區間估計，計算變異數時必須納入共變異數項 $Cov(\hat{p}_1, \hat{p}_2) = -\frac{p_1 p_2}{n}$。【解答】計算：

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