高考申論題
106年
[統計] 抽樣方法
第 二 題
📖 題組：
市政府為了解市民對於在市內開設新的公立托兒所的看法，以簡單隨機抽樣法抽出 500 位市民進行調查。根據調查結果得知：有 260 位反對在市內設立新的公立托兒所，有 230 位贊成在市內設立新的公立托兒所，其餘沒意見。根據調查結果，市政府宣稱超過半數的市民反對在市內開設新的公立托兒所。 (一)試估計市民反對在市內設立新的公立托兒所的比例；且在 95% 的信賴水準下，估計此次調查的誤差界限及說明是否同意市政府的宣稱。（15 分） (二)在 95% 的信賴水準下，說明反對在市內設立新的公立托兒所的比例是否顯著高於贊成在市內設立新的公立托兒所的比例？（10 分）
市政府為了解市民對於在市內開設新的公立托兒所的看法，以簡單隨機抽樣法抽出 500 位市民進行調查。根據調查結果得知：有 260 位反對在市內設立新的公立托兒所，有 230 位贊成在市內設立新的公立托兒所，其餘沒意見。根據調查結果，市政府宣稱超過半數的市民反對在市內開設新的公立托兒所。 (一)試估計市民反對在市內設立新的公立托兒所的比例；且在 95% 的信賴水準下，估計此次調查的誤差界限及說明是否同意市政府的宣稱。（15 分） (二)在 95% 的信賴水準下，說明反對在市內設立新的公立托兒所的比例是否顯著高於贊成在市內設立新的公立托兒所的比例？（10 分）
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (二)
在 95% 的信賴水準下，說明反對在市內設立新的公立托兒所的比例是否顯著高於贊成在市內設立新的公立托兒所的比例？（10 分）
思路引導 VIP
本題考查同一樣本中兩個互斥類別（反對與贊成）的比例差異檢定。考生需留意此為多項分配下的相依事件，必須納入兩者的共變異數（Cov = -p_1p_2/n）來推導比例差的標準誤，最後透過 Z 檢定或信賴區間來判斷是否具備統計顯著性。
小題 (一)
試估計市民反對在市內設立新的公立托兒所的比例；且在 95% 的信賴水準下，估計此次調查的誤差界限及說明是否同意市政府的宣稱。（15 分）
思路引導 VIP
看到此題，應立即辨識為「簡單隨機抽樣（SRS）下的母體比例估計」問題。解題重點在於計算樣本比例，並利用常態近似求出標準誤與 95% 誤差界限（因母體大小未知，視為無限母體並忽略有限母體校正 fpc）。最後，透過建構信賴區間，檢查區間下限是否大於 0.5，以客觀判斷市政府「超過半數」的宣稱是否具備統計顯著性。
相依比例差異檢定
💡 比較同樣本內互斥類別比例時，需納入負相關共變異數修正。
| 比較維度 | 獨立兩樣本比例比較 | VS | 同樣本兩類別比例比較 |
|---|---|---|---|
| 資料來源 | 兩個不相干的樣本 | — | 同一個樣本的不同類別 |
| 相關性 (Cov) | 假設獨立，Cov = 0 | — | 互斥類別，Cov < 0 |
| 變異數組成 | Var(p1) + Var(p2) | — | Var(p1)+Var(p2)-2Cov |
| 適用情境 | 比較 A 市與 B 市 | — | 比較同市內贊成與反對 |
💬同樣本比較因類別互斥具有負相關，必須修正標準誤公式以免誤判顯著性。
