高考申論題
112年
[統計] 抽樣方法
第 一 題
📖 題組：
表一為臺灣 60 大城市之 11 月份降雨量（單位：公厘 mm）。城市 1 至城市 60 排列方式是依地理位置從北到南依序排列。城市號碼愈小所在位置也就愈偏臺灣北部，城市號碼愈大所在位置也就愈偏臺灣南部。 (一)假設用簡單隨機抽樣法抽出 n = 10 個臺灣大城市（10 個樣本的號碼如下：2、12、16、20、24、27、32、40、47、56），試估計臺灣 60 大城市之 11 月份平均降雨量(μ_hat)及其估計變異數(V_hat(μ_hat))？（10 分） (二)選擇一組 10 個樣本的系統樣本，為統一起見，一律採用起始號碼 3。試以此組系統樣本估計臺灣 60 大城市之 11 月份平均降雨量(μ_hat)及其估計變異數(V_hat(μ_hat))？假設母體為隨機排列。（10 分） (三)如果採重複系統抽樣，抽出兩個"12 取 1"的系統樣本，為統一起見，一律採用起始號碼 1 及 6。試以此兩組重複系統樣本估計臺灣 60 大城市之 11 月份平均降雨量(μ_hat)及其估計變異數(V_hat(μ_hat))？（15 分）
表一為臺灣 60 大城市之 11 月份降雨量（單位：公厘 mm）。城市 1 至城市 60 排列方式是依地理位置從北到南依序排列。城市號碼愈小所在位置也就愈偏臺灣北部，城市號碼愈大所在位置也就愈偏臺灣南部。 (一)假設用簡單隨機抽樣法抽出 n = 10 個臺灣大城市（10 個樣本的號碼如下：2、12、16、20、24、27、32、40、47、56），試估計臺灣 60 大城市之 11 月份平均降雨量(μ_hat)及其估計變異數(V_hat(μ_hat))？（10 分） (二)選擇一組 10 個樣本的系統樣本，為統一起見，一律採用起始號碼 3。試以此組系統樣本估計臺灣 60 大城市之 11 月份平均降雨量(μ_hat)及其估計變異數(V_hat(μ_hat))？假設母體為隨機排列。（10 分） (三)如果採重複系統抽樣，抽出兩個"12 取 1"的系統樣本，為統一起見，一律採用起始號碼 1 及 6。試以此兩組重複系統樣本估計臺灣 60 大城市之 11 月份平均降雨量(μ_hat)及其估計變異數(V_hat(μ_hat))？（15 分）
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
假設用簡單隨機抽樣法抽出 n = 10 個臺灣大城市（10 個樣本的號碼如下：2、12、16、20、24、27、32、40、47、56），試估計臺灣 60 大城市之 11 月份平均降雨量(μ_hat)及其估計變異數(V_hat(μ_hat))？（10 分）
思路引導 VIP
本題測驗簡單隨機抽樣 (SRS) 下的母體平均數與其變異數估計。先從圖表中查出對應樣本編號的降雨量，計算樣本平均數 ($\bar{y}$) 及樣本變異數 ($s^2$)，最後代入含有限母體校正因子 (FPC) 的變異數估計公式 $\hat{V}(\hat{\mu}) = (1 - \frac{n}{N}) \frac{s^2}{n}$ 即可得出答案。
小題 (二)
選擇一組 10 個樣本的系統樣本，為統一起見，一律採用起始號碼 3。試以此組系統樣本估計臺灣 60 大城市之 11 月份平均降雨量(μ_hat)及其估計變異數(V_hat(μ_hat))？假設母體為隨機排列。（10 分）
思路引導 VIP
先根據母體總數 N=60 與樣本數 n=10 求出系統抽樣間距 k=6，以起始號碼 3 找出對應的 10 個城市樣本與其降雨量。接著計算這組資料的樣本平均數。關鍵點在於題目假設「母體為隨機排列」，因此可以直接借用簡單隨機抽樣 (SRS) 的變異數公式來估計系統抽樣的變異數。
小題 (三)
如果採重複系統抽樣，抽出兩個"12 取 1"的系統樣本，為統一起見，一律採用起始號碼 1 及 6。試以此兩組重複系統樣本估計臺灣 60 大城市之 11 月份平均降雨量(μ_hat)及其估計變異數(V_hat(μ_hat))？（15 分）
思路引導 VIP
考生須先辨認「重複系統抽樣」的計算特性，將各組系統樣本視為獨立的叢集（Cluster）。先分別計算出兩組樣本的群平均，其總平均即為母體平均數的估計量；變異數估計則是直接計算各組樣本平均數之間的變異，並套用叢集抽樣的變異數估計公式（務必記得乘上有限母體修正因子 fpc）。
📜 參考法條
表一：提供 60 個城市的降雨量數據（略，需對應表中數值）