高考申論題
112年
[統計] 迴歸分析
第 一 題
📖 題組：
某資料有 40 個觀察值，因變數為 $y_1,...,y_{40}$，自變數為 $x_1,...,x_{40}$，迴歸模式 $y_i = \beta_0 + \beta_1 x_i + \epsilon_i$。 (一)其檢定之有效性是建立在對 $\epsilon_i$ 的那些假設下？（10 分） (二)若 $(x_1,...,x_{20})$ 為男生體重，$(x_{21},...,x_{40})$ 為女生體重，$y$ 為其運動後心跳頻率。已知男生體重的變異量一般較女生大。今以 $y$ 對 $x$ 做簡單線性迴歸，可能會違反(一)中那些假設？（5 分） (三)若 $x_1,...,x_{10}$ 是 10 個人第 1 年之測量值，$x_{11},...,x_{20}$ 為其第 2 年測量值，$x_{21},...,x_{30}$ 為其第 3 年測量值，$x_{31},...,x_{40}$ 為其第 4 年測量值。以 $y$ 對 $x$ 做簡單線性迴歸的話，會違反(一)中那些假設？（5 分）
某資料有 40 個觀察值，因變數為 $y_1,...,y_{40}$，自變數為 $x_1,...,x_{40}$，迴歸模式 $y_i = \beta_0 + \beta_1 x_i + \epsilon_i$。 (一)其檢定之有效性是建立在對 $\epsilon_i$ 的那些假設下？（10 分） (二)若 $(x_1,...,x_{20})$ 為男生體重，$(x_{21},...,x_{40})$ 為女生體重，$y$ 為其運動後心跳頻率。已知男生體重的變異量一般較女生大。今以 $y$ 對 $x$ 做簡單線性迴歸，可能會違反(一)中那些假設？（5 分） (三)若 $x_1,...,x_{10}$ 是 10 個人第 1 年之測量值，$x_{11},...,x_{20}$ 為其第 2 年測量值，$x_{21},...,x_{30}$ 為其第 3 年測量值，$x_{31},...,x_{40}$ 為其第 4 年測量值。以 $y$ 對 $x$ 做簡單線性迴歸的話，會違反(一)中那些假設？（5 分）
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
其檢定之有效性是建立在對 $\epsilon_i$ 的那些假設下？（10 分）
思路引導 VIP
看到「檢定之有效性」，應立刻聯想到古典線性迴歸模型對誤差項 $\epsilon_i$ 的四大基本假設（期望值為零、變異數同質性、獨立性、常態性）。特別注意，因題目強調「檢定」而非僅「估計」，故除高斯-馬可夫定理所需假設外，務必點出「常態分配假設」，此為推導 t 檢定與 F 檢定統計量的數學基礎。
小題 (二)
若 $(x_1,...,x_{20})$ 為男生體重，$(x_{21},...,x_{40})$ 為女生體重，$y$ 為其運動後心跳頻率。已知男生體重的變異量一般較女生大。今以 $y$ 對 $x$ 做簡單線性迴歸，可能會違反(一)中那些假設？（5 分）
思路引導 VIP
考生看到此題應敏銳察覺樣本實質上來自兩個不同母體（男與女），且題目明示自變數（體重）在兩群體間變異量不同。這強烈暗示著依變數（心跳）的殘差變異數極可能隨群體改變，應直指「違反變異數同質性」；同時，應思考未控制性別變數可能導致模型設定偏誤，使殘差吸收了群體差異，導致誤差項期望值不為零。
小題 (三)
若 $x_1,...,x_{10}$ 是 10 個人第 1 年之測量值，$x_{11},...,x_{20}$ 為其第 2 年測量值，$x_{21},...,x_{30}$ 為其第 3 年測量值，$x_{31},...,x_{40}$ 為其第 4 年測量值。以 $y$ 對 $x$ 做簡單線性迴歸的話，會違反(一)中那些假設？（5 分）
思路引導 VIP
考生應先辨識出這是一組「重複測量資料（Repeated Measures）」或「追蹤資料」。同一個受測者在連續四年的資料必然帶有個人特質的延續性，這會直接破壞誤差項必須「相互獨立」的古典假設。