高考申論題
110年
[統計] 迴歸分析
第 一 題
📖 題組：
五、若考慮一因子變異數分析有 t 個處理，每個處理有 r 個觀測值，其模型表示如下： Y_ij = \mu + \tau_i + \varepsilon_ij ， i=1,2,...,t ，j=1,2,..,r ， 其中\mu為總平均數，\tau_i為第 i 個處理效應，\varepsilon_ij是隨機誤差項。 (一)若以線性迴歸模型 Y = X\beta + \varepsilon 改寫上述一因子變異數分析模型，請定義Y，X，\beta及\varepsilon，並詳述其維度。（10 分） (二)為統計推論之目的，說明隨機誤差項所需的假設。（5 分） (三)若欲檢定是否存在處理效應，請詳述此檢定之虛無假設、對立假設、檢定統計量及其拒絕域。（10 分）
五、若考慮一因子變異數分析有 t 個處理，每個處理有 r 個觀測值，其模型表示如下： Y_ij = \mu + \tau_i + \varepsilon_ij ， i=1,2,...,t ，j=1,2,..,r ， 其中\mu為總平均數，\tau_i為第 i 個處理效應，\varepsilon_ij是隨機誤差項。 (一)若以線性迴歸模型 Y = X\beta + \varepsilon 改寫上述一因子變異數分析模型，請定義Y，X，\beta及\varepsilon，並詳述其維度。（10 分） (二)為統計推論之目的，說明隨機誤差項所需的假設。（5 分） (三)若欲檢定是否存在處理效應，請詳述此檢定之虛無假設、對立假設、檢定統計量及其拒絕域。（10 分）
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
若以線性迴歸模型
Y = X$\beta + \varepsilon$
改寫上述一因子變異數分析模型，請定義Y，X，$\beta$及\varepsilon，並詳述其維度。（10 分）
思路引導 VIP
看到此題，應立即聯想到 ANOVA 模型可以被表示為一般線性模型 (GLM) 的矩陣形式。關鍵在於利用指示變數（Dummy variables）構建設計矩陣 X，並將所有的觀察值與誤差項依序排列為行向量，同時準確計算出矩陣的列數（總樣本數 tr）與行數（參數個數 t+1）。
小題 (二)
為統計推論之目的，說明隨機誤差項所需的假設。（5 分）
思路引導 VIP
看到「為統計推論之目的」與「誤差項假設」，應直覺聯想到常態線性迴歸模型及變異數分析的核心前提。請依序精確列出古典誤差項的四大基本假設：期望值為零、變異數同質、互相獨立，以及為了能推導出檢定統計量（如 F 檢定）確切分配所必備的「常態性」假設。
小題 (三)
若欲檢定是否存在處理效應，請詳述此檢定之虛無假設、對立假設、檢定統計量及其拒絕域。（10 分）
思路引導 VIP
看到「檢定處理效應」，應聯想到變異數分析（ANOVA）的核心 F 檢定。答題時需依序精確列出虛無假設（處理效應全為零）、對立假設、F 檢定統計量的建構方式（處理均方與誤差均方之比），以及基於顯著水準與對應自由度的拒絕域。