高考申論題
112年
[統計] 迴歸分析
第 二 題
📖 題組：
連續變數 Y 代表因變數藥效（越大代表成效越佳），自變數 X 為類別變數，代表 A、B、C 三種藥物處方，三組人樣本數相同，各只接受其中一種處方。 (一)某軟體將 X 轉成以下虛擬變數（dummy variable） X1及 X2： $$X_1 = \begin{cases} 1 & \text{當} X = A \\ 0 & \text{當} X = B \\ 0 & \text{當} X = C \end{cases} , \text{及 } X_2 = \begin{cases} 0 & \text{當} X = A \\ 1 & \text{當} X = B \\ 0 & \text{當} X = C \end{cases}$$ 然後以 Y 對 X1及 X2配適迴歸模式：$Y = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \epsilon$。請就以下檢定結果比較三種藥物之藥效（如：何者顯著較佳，何者間無顯著差別）。（15 分） [統計報表1略] (二)另一種軟體轉虛擬變數的方式如下： $$X_1^* = \begin{cases} 1 & \text{當} X = A \\ 0 & \text{當} X = B \\ -1 & \text{當} X = C \end{cases} , \text{及 } X_2^* = \begin{cases} 0 & \text{當} X = A \\ 1 & \text{當} X = B \\ -1 & \text{當} X = C \end{cases}$$ 然後以 Y 對 $X_1^*$ 及 $X_2^*$ 配適迴歸模式：$Y = \beta_1 X_1^* + \beta_2 X_2^* + \epsilon$。請就以下檢定結果比較三種藥物之藥效。（15 分） [統計報表2略]
連續變數 Y 代表因變數藥效（越大代表成效越佳），自變數 X 為類別變數，代表 A、B、C 三種藥物處方，三組人樣本數相同，各只接受其中一種處方。 (一)某軟體將 X 轉成以下虛擬變數（dummy variable） X1及 X2： $$X_1 = \begin{cases} 1 & \text{當} X = A \\ 0 & \text{當} X = B \\ 0 & \text{當} X = C \end{cases} , \text{及 } X_2 = \begin{cases} 0 & \text{當} X = A \\ 1 & \text{當} X = B \\ 0 & \text{當} X = C \end{cases}$$ 然後以 Y 對 X1及 X2配適迴歸模式：$Y = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \epsilon$。請就以下檢定結果比較三種藥物之藥效（如：何者顯著較佳，何者間無顯著差別）。（15 分） [統計報表1略] (二)另一種軟體轉虛擬變數的方式如下： $$X_1^* = \begin{cases} 1 & \text{當} X = A \\ 0 & \text{當} X = B \\ -1 & \text{當} X = C \end{cases} , \text{及 } X_2^* = \begin{cases} 0 & \text{當} X = A \\ 1 & \text{當} X = B \\ -1 & \text{當} X = C \end{cases}$$ 然後以 Y 對 $X_1^*$ 及 $X_2^*$ 配適迴歸模式：$Y = \beta_1 X_1^* + \beta_2 X_2^* + \epsilon$。請就以下檢定結果比較三種藥物之藥效。（15 分） [統計報表2略]
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (二)
另一種軟體轉虛擬變數的方式如下：...然後以 Y 對 $X_1^*$ 及 $X_2^*$ 配適迴歸模式：$Y = \beta_1 X_1^* + \beta_2 X_2^* + \epsilon$。請就以下檢定結果比較三種藥物之藥效。（15 分）
思路引導 VIP
本題測驗「偏差編碼（Effect Coding）」虛擬變數的理解。考生需辨識出此種編碼方式下，截距項代表全體樣本的總平均，而各迴歸係數代表該組與總平均的差異，藉由代入係數即可計算出各組的平均藥效並判斷顯著性。
小題 (一)
某軟體將 X 轉成以下虛擬變數（dummy variable） X1及 X2：...然後以 Y 對 X1及 X2配適迴歸模式：$Y = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \epsilon$。請就以下檢定結果比較三種藥物之藥效（如：何者顯著較佳，何者間無顯著差別）。（15 分）
思路引導 VIP
看到此題，首先應辨識虛擬變數的編碼方式，確認基準組（Reference group）為藥物 C。接著利用迴歸報表中的係數（Coef）與 P 值（P-Value），分別檢定藥物 A 與 B 相對於藥物 C 的藥效差異，進而比較三種藥物的優劣。
虛擬變數編碼分析
💡 掌握指標編碼與偏差編碼在迴歸模型中係數含義的差異。
| 比較維度 | 指標編碼 (Indicator) | VS | 偏差編碼 (Effect) |
|---|---|---|---|
| 截距項 $\beta_0$ | 參考組的平均值 | — | 各組樣本數相同時為總平均 |
| 斜率係數 $\beta_i$ | 第 i 組與參考組的均值差 | — | 第 i 組與總平均的離差 |
| 最後一組效應 | 直接由截距項代表 | — | 其離差為 $-\sum \beta_i$ |
💬指標編碼適合與特定對照組比較，偏差編碼適合分析各組對整體的貢獻。
