普考申論題
112年
[經建行政] 統計學概要
第 二 題
📖 題組：
一、令Φ(z)為標準常態累積分配函數，Φ(-2)=0.0228。計算回答下列各子題：（每小題10分，共30分）
一、令Φ(z)為標準常態累積分配函數，Φ(-2)=0.0228。計算回答下列各子題：（每小題10分，共30分）
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (二)
(二)陳述中央極限定理（Central Limit Theorem）。（詳實敘明所需要的假設）
思路引導 VIP
這是一道純理論題。需精確敘述「中央極限定理」的內容及其前提假設。切勿只寫「大樣本變常態」，必須精確點出「獨立同分配 (i.i.d.)」、「平均數」與「變異數有限」三個關鍵條件。
小題 (一)
(一)假設X_1和X_2是互相獨立的常態隨機變數，其分配分別為 N(12, 4^2)和 N(2, 3^2)。計算P(X_1 > X_2)和P(X_1 + X_2 > 24)。
思路引導 VIP
看到本題，首先要辨識出這是常態分配的線性組合考點。兩個獨立常態分配相加減，其結果仍為常態分配。接著，應該計算相加與相減後新變數的期望值與變異數，再予以標準化，最後利用題目提供的 Φ(-2)=0.0228 及常態分配的對稱性求出機率。
小題 (三)
(三)令Y = \sum_{i=1}^{48} X_i，X_i為服從齊一分配（uniform distribution）U(0, 4)的隨機樣本，i = 1, $\dots, 48$。利用(二)所述定理，計算P(80 < Y < 112)之近似機率。（需計算列出X_i的平均數與變異數）
思路引導 VIP
解題關鍵為實作剛陳述過的中央極限定理。先算出 U(0,4) 的期望值和變異數，再計算總和 Y 的期望值與變異數。有了 Y 的分配後進行標準化，最後轉換為標準常態分配求機率。